П.6. Приближенное распределение величины n для случая, когда z распределена по нормальному закону

П.6.1. Случай, когда B=0 и A конечно.

В этом случае мы предполагали, что Тогда приближенная характеристическая функция величины при пренебрежении перескоком границ определяется выражением

Пусть

Тогда характеристическая функция величины определяется формулой

где

и

Знак квадратного корня определяется таким образом, что действительная часть корня является положительной. Распределение величины дается выражением

Пусть

и

Так как

то имеем

Из (П. 171) и (П. 172) получаем

Из вытекает

Следовательно,

где является некоторой функцией только от Таким образом,

Теперь определим Имеем

Так как является характеристической функцией где имеет распределение с одной степенью свободы, то правая часть (П. 179) равна

Следовательно,

Из получаем

Из следует

Отсюда распределение определяется формулой

Пусть Тогда распределение величины определяется формулой

Функция неотрицательна и равна нулю только при Если с достаточно велико, то для значений не близких к единице, чрезвычайно мало.

Разлагая — 2 в ряд Тейлора в окрестности получим высших порядков. Отсюда для больших с

т. е. если с велико, то имеет приближенно нормальное распределение со средним значением, равным единице, и стандартным отклонением

П.6.2. Случай, когда ...

В этом случае мы предполагали, что Легко показать, что распределение определяется здесь выражением, которое получается из подстановкой вместо с.

П.6.3. Случай, когда ... и А конечно.

В этом случае приближенная характеристическая функция величины при пренебрежении перескоком границ определяется формулой где равны правым частям выражений соответственно. Пусть

Тогда характеристическая функция величины определяется формулой

где

является мнимым аргументом. Полагая перепишем характеристическую функцию величины в виде

Достаточно рассмотреть только случай так как случай может быть рассмотрен подобным же образом. Тогда Так как действительная часть больше или равна 1, то имеем

для любого мнимого значения Пусть

Тогда

Из следует, что можно записать в виде бесконечного ряда

где являются постоянными и Каждый член ряда является характеристической функцией вида с точностью до постоянного множителя. Пусть будет распределением величины соответствующим характеристической функции Тогда можно получить из подстановкой вместо с. Так как правую

часть можно почленно интегрировать, то распределение величины определяется выражением

П.6.4. Некоторые замечания.

Так как является дискретной величиной, то может показаться парадоксальным, что для получили функцию плотности вероятностей. Однако это объясняется тем фактом, что мы пренебрегли а эта величина равна нулю только в предельном случае, когда (а и о приближаются к 0.

Если и о достаточно малы по сравнению с то распределение определенное выражением будет хорошим приближением для точного распределения величины даже если распределена не по нормальному закону. Причину этого можно объяснить следующим образом. Пусть

где является заданным положительным целым числом. Так как являются независимыми случайными величинами, распределенными по одному и тому же закону, то при некоторых достаточно слабых ограничениях и больших значениях величины будут иметь распределение, близкое к нормальному. Следовательно, если представить накопленные суммы в виде то распределение является достаточно хорошим приближением, если только малы по сравнению с так что разностью можно пренебречь.

Желательно было бы вывести границы для ошибки в функции распределения величины обусловленной пренебрежением Но такие границы еще не получены.