§ 2.4. Проверка простой гипотезы Н0 при единственной конкурирующей гипотезе Н1

2.4.1. Эффективность последовательного критерия.

Будем рассматривать только два значения параметра например и Пусть гипотеза заключается в том, что означает гипотезу Будем называть нулевой гипотезой, а — конкурирующей гипотезой. С любой последовательной проверкой гипотезы относительно гипотезы связаны два числа заключенные между нулем и единицей. Если истинна гипотеза то вероятность того, что мы допустим ошибку первого рода (т. е. отклоним гипотезу будет равна а, а если истинна гипотеза то вероятность того, что мы совершим ошибку второго рода (т. е. примем гипотезу будет равна Будем называть два последовательных критерия равносильными, если величины связанные с одним критерием, равны соответствующим величинам и связанным со вторым критерием. Если и или же и то будем говорить, что критерий сильнее критерия (критерий слабее критерия ). Если или же то будем говорить, что критерии несравнимы.

Ограничиваясь последовательными критериями данной силы можно считать более желательным тот критерий, который требует меньшее среднее число наблюдений. Если - два последовательных критерия равной силы, а

или

то критерий S считается предпочтительнее критерия Если критерий таков, что

для всех критериев S, равносильных критерию , то этот критерий 50 будем называть оптимальным.

Обозначим через минимальную относительно S (где S — любой последовательный критерий силы величину а через -минимальную относительно S величину Тогда для любого последовательного критерия S силы имеем и Последовательный критерий S силы является оптимальным, если и Существование оптимального критерия, вообще говоря, не доказано. Однако в приложении показано, что для так называемого последовательного критерия отношений вероятностей 50 силы который будет определен в главе 3, отношения

отличаются от единицы только на очень малые величины, которыми на практике можно пренебречь. Таким образом, для всех практических целей последовательный критерий отношений вероятностей можно считать оптимальным.

В приложении также показано, что отношения (2.4) стремятся к единице при стремящемся к

Будем определять эффективность последовательного критерия силы отношением когда истинна гипотеза и отношением когда истинна гипотеза Очевидно, что эффективность последовательного критерия в обоих случаях равна величине, лежащей между

нулем и единицей. При этом более желательным является тот критерий силы который имеет большую эффективность. Эффективность оптимального критерия равна единице в обоих случаях. Последовательный критерий отношений вероятностей при проверке гипотезы относительно гипотезы имеет эффективность, которая, как показывается в приложении если и не точно равна единице, то очень близка к единице как при гипотезе так и при гипотезе Как уже упоминалось выше, в приложении показывается, что эффективность последовательного критерия отношений вероятностей достигает единицы как при гипотезе так и при гипотезе если приближается к 60.