ЧАСТЬ III. ПРОБЛЕМА МНОГОЗНАЧНЫХ РЕШЕНИЙ И ОЦЕНКИ

ГЛАВА 10. ВЫБОР ГИПОТЕЗЫ ИЗ МНОЖЕСТВА ВЗАИМНО ИСКЛЮЧАЮЩИХ ДРУГ ДРУГА ГИПОТЕЗ (МНОГОЗНАЧНОЕ РЕШЕНИЕ)

§ 10.1. Постановка задачи

Часть I была посвящена исключительно обсуждению задач проверки статистической гипотезы. В этих задачах может быть принято только одно из двух возможных решений: гипотеза либо отвергается, либо принимается. Таким образом, можно сказать, что проверка гипотезы представляет собой задачу двузначного решения, так как решение может принимать только два значения: принятие и отказ. Пусть означает отрицание проверяемой гипотезы Тогда проверка гипотезы есть не что иное, как выбор между двумя конкурирующими гипотезами

В п. 1.3.5 указывалось, что задача проверки гипотезы возникает часто из задачи выбора между двумя альтернативными действиями, например действием 1 и действием 2. Предположим, что предпочтение, оказываемое тому или другому действию, зависит от неизвестного параметра распределения случайной величины х. Пусть означает множество всех значений 0, для которых действие 1 является более предпочтительным, чем действие 2 (или, по крайней мере, не менее желательным, чем действие 2). Если решение должно быть принято на базе конечного числа наблюдений над х, это приводит к проблеме проверки гипотезы о том, что истинное значение принадлежит к Если принимается, выбираем действие 1 и, если отвергается, выбираем

действие 2. В приложениях часто оказывается необходимым осуществить выбор более чем из двух альтернативных действий. Предположим, что имеется альтернативных действий, например действие 1, действие 2, действие пусть одно из них должно быть выбрано на базе нескольких наблюдений случайной величины х. Итак, можно будет, вообще говоря, разбить совокупность всех возможных значений на неперекрывающихся частей таких, что предпочтение отдается действию по сравнению со всеми другими действиями тогда и только тогда, когда истинное значение принадлежит к Пусть означает гипотезу о том, что принадлежит к В этом случае задача выбора определенного действия сводится к задаче выбора одной из гипотез Если принимается мы решаем избрать действие Такая задача может быть названа задачей многозначного решения, так как решение, которое нужно принять, может принимать значений: мы можем принять или или

В этой главе займемся задачей выбора одной из взаимно исключающих и исчерпывающих всевозможные случаи гипотез на основе нескольких наблюдений рассматриваемой случайной величины Задача проверки гипотезы содержится в этой задаче как частный случай, если

Иллюстрацией к этой задаче может служить следующий простой пример. Предположим, что измеряемая характеристика качества продукта, которая нормально распределена в совокупности произведенных изделий. Допустим, что качество продукта считается тем более высоким, чем больше среднее значение величины х. Предположим, что изготовитель рассматривает следующие три альтернативные действия: 1) продать продукт по обычной рыночной цене, 2) признать продукт второсортным и продать по сниженной цене, 3) воздержаться от продажи продукта. Пусть два значения 0, таких, что изготовитель предпочитает действие 3), если действие 2), если и действие 1), если Пусть означает гипотезу гипотезу гипотезу Если

значениё неизвестно и если изготовитель должен решить, какое из действий следует совершить на базе нескольких наблюдений над х, то перед ним стоит задача многозначного решения о выборе одной из взаимно исключающихся гипотез