НЕКОТОРЫЕ УТОЧНЕНИЯ ГРАНИЦ ДЛЯ СРЕДНЕГО ЧИСЛА НАБЛЮДЕНИЙ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ КРИТЕРИИ ОТНОШЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

А. Зальд

Краткое содержание.

Верхняя и нижняя границы среднего числа наблюдений требуемых в последовательном критерии отношений вероятностей, были найдены в одной из работ А. Вальда. Однако полученные там границы слишком грубы и имеют небольшую практическую ценность в случае, когда среднее значение каждого слагаемого в накопленной сумме, определяемой на каждой стадии последовательного испытания, близко к нулю. Полученные в настоящей статье верхняя и нижняя границы для среднего значения близки друг к другу, когда среднее значение мало отличается от нуля. Эти границы выражаются через границы для среднего значения некоторых функций от величины накопленной суммы в момент прекращения последовательных испытаний.

В дан общий метод вычисления границ для среднего значения любой функции от

1. Введение.

Пусть х представляет собой случайную величину с плотностью распределения вероятностей зависящей от неизвестного параметра Пусть обозначает гипотезу гипотезу где данные величины. Последовательный критерий отношений вероятностей для проверки против формулируется следующим образом. Пусть

где обозначает наблюдение значение х. Выбираются два постоянных числа где На каждой стадии эксперимента после испытания, где любое целое положительное число, подсчитывается накопленная сумма

Эксперимент продолжается все время, пока Как только окажется вне этого отрезка, эксперимент прекращается. Если то принимается гипотеза если же то принимается гипотеза

Пусть означает наименьшее значение при котором не лежит между т. е. число наблюдений в последовательном критерии. Среднее значение есть функция истинного значения параметра обозначим его через

Верхняя и нижняя границы для были получены А. Вальдом. Эти границы, однако, имеют небольшую практическую ценность, когда среднее значение

близко к нулю, так как эти границы стремятся соответственно к по мере приближения к нулю. Можно показать, что среднее значение отрицательно, когда и положительно, когда Таким образом, если среднее значение есть непрерывная функция 0, то существует величина 0, лежащая между такая, что среднее значение равно нулю, когда Поэтому границы для данные в статье А. Вальда, не имеют практической ценности, когда в близко к 0.

Цель настоящей работы — получить верхнюю и нижнюю границы для которые были бы, вообще говоря, ближе друг к другу, когда близко к 0. Таким образом, можно получить узкие границы для во всей области изменения 0, если полученные в этой работе границы использовать, когда принадлежит малому интервалу, содержащему 0, а границы, полученные в статье А. Вальда, использовать, когда лежит вне этого интервала.

2, Обозначения. Будем использовать в этой работе следующие обозначения. Для любой случайной величины а

символом будем обозначать среднее значение и, когда есть истинное значение параметра. Условное среднее значение величины и при условии, что выполняются некоторые условия будет обозначаться Символ обозначает вероятность того, что условия выполнены, когда есть истинное значение параметра.

Функция распределения z будет обозначаться где -истинное значение параметра. Производящая функция моментов при истинном значении параметра будет обозначаться через т. е.

3. Ограничения, накладываемые на множество функций распределения

В этом пункте сформируем два ограничения, налагаемые на которые будут использоваться при доказательстве различных лемм и теорем. Поскольку нас интересует величина 0, близкая к 0, примем за область изменения конечный замкнутый интервал содержащий внутри себя точку 0. В дальнейшем всегда будет предполагаться, что любые утверждения относительно относятся к области даже если это явно не оговаривается.

Условие 1. Производящая функция моментов существует в любой точке комплексной плоскости и для любой величины и является непрерывной функцией 0.

Условие 2. Существует такое положительное 8, что имеют относительно положительные нижние грани.

4. Доказательство совместной непрерывности ... по ... и непрерывности моментов ...

В этом пункте докажем следующую теорему.

Теорема 4.1. Из условия 1 следует, что совместно непрерывна по и и что все моменты являются непрерывными функциями 0.

Доказательство. Сначала мы покажем, что ограниченная функция и в области — любая положительная величина. Очевидно, что

для любых Ограниченность следует из условия 1. Таким образом, является ограниченной функцией в любой ограниченной области

Пусть последовательность пар чисел, сходящаяся к паре Имеем

Второе выражение в скобках сходится к нулю из-за непрерывности по 0. Таким образом, первая часть теоремы 4.1 будет доказана, если будет показано, что

Из условия 1 следует, что для любого данного является аналитической функцией, не имеющей особенностей в любой конечной области изменения Поэтому можно разложить в ряд Тейлора около точки т. е.

Пусть — некоторое положительное число. Из ограниченности в любой конечной области изменения следует существование такой константы что для всех и для всех из области 11 — Из интегрального представления Коши любой аналитической функции следует, что

Из (4.4) и (4.5) получаем

Равенство (4.3) немедленно следует из (4.6). Этим закан чивается доказательство первой части теоремы 4.1.

Пусть в комплексной плоскости С есть окружность ограниченного радиуса с центром в начале координат. Из интегральной формулы Коши получаем

Функция непрерывна по и 0, поэтому интеграл в левой части формулы (4.7) является непрерывной функцией 0. Это доказывает вторую часть теоремы 4.1.

5. Некоторые леммы. В этом пункте докажем несколько лемм, которые будем использовать при выводе основных результатов в п. 6 и 8.

Лемма 5.1. Из условий 1 и 2 вытекает, что для любого заданного уравнение по

имеет точно два действительных корня, один из которых равен нулю. Второй действительный корень отличен от нуля, если Если же то оба действительных корня равны нулю, яуль является корнем (5.1) кратности два.

Эта лемма по существу совпадает с леммой 2 более ранней статьи автора, и ее доказательство поэтому будет опущено.

Пусть обозначает отличный от нуля корень (5.1), если Если же то положим

В дальнейшем будем считать действительной величиной, если не оговорено противное.

Лемма 5.2. Из условий 1 и 2 следует, что является непрерывной функцией 0.

Доказательство. Из условия 2 следует, что

равномерно по 0. По определению

тождественно по 0, поэтому является ограниченной функцией 0.

Пусть последовательность значений параметра, сходящаяся к 0. Из теоремы 4.1 следует, что

равномерно по из любого конечного интервала. Так ограничена, то из (5.3) следует

Учитывая далее, что из (5.4) можно получить, что

Из условия 1 следует, что для любой предельной точки А ограниченной последовательности имеем

Если тогда уравнение имеет только один корень Следовательно, все предельные точки должны быть равны нулю, т. е.

Предположим теперь, что Так как вторая производная по положительна, то ясно, что если принадлежит открытому интервалу и если находится вне замкнутого интервала Следовательно, означает, что имеют одинаковый знак. Поэтому имеем

Из условия 1 следует, что

для достаточно больших Следовательно, имеют один и тот же знак и

Неравенство (5.9) означает, что нуль не может быть предельной точкой последовательности Так как имеет только корни то из (5.5) вытекает, что последовательность не имеет предельной точки, отличной от Таким образом,

и лемма 5.2 доказана.

Лемма 5.3. Из условия 1 следует, что для любого заданного есть ограниченная функция 0.

Доказательство. Имеем

Из условия 1 следует, что ограниченные функции 0. Таким образом, лемма 5.3 доказана»

Лемма 5.4. Пусть есть такое значение 0, что но для всех из некоторого открытого интервала, содержащего 0. Из условий следует, что

Доказательство. Имеем

где и 1, Следовательно,

В силу получаем из (5.14)

Будем рассматривать только такие значения 0, для которых Для этих значений также

Поделив (5.15) на получим

Пусть есть верхняя граница относительно 0. Можно так выбрать константу С, что

Из этого соотношения, а также из леммы 5.3 следует, что есть ограниченная функция 0.

Из непрерывности следует

Лемма 5.4 вытекает из (5.16), (5.18), ограниченности функции и того факта, что является непрерывной функцией и

Лемма 5.5. Из условий 1 и 2 следует, что для любого заданного функция существует и является ограниченной функцией 0.

Доказательство. Достаточно доказать, что является ограниченной функцией при любом так как

Ясно, что лежит между и Поэтому лемма 5.5 будет доказана, если покажем, что ограниченная функция 0.

Из условия 2 следует, что существует такое целое положительное число и такое положительное число что

для всех 0. Для любого положительного целого числа и любых действительных чисел имеем

Следовательно,

Умножая (5.23) на и суммируя по получаем

Из (5.24) легко вывести, что

является ограниченной функцией и 0. Пусть А — верхняя граница отношения (5.25). Тогда

Согласно условию есть ограниченная функция 0. Следовательно, также ограничена, и лемма (5.5) доказана.

6. Предельное значение ... когда ... стремится к ..., для которого ...

В этом пункте докажем следующую теорему.

Теорема 6.1. Пусть есть такое значение 0, для которого но для значений из некоторого открытого интервала, содержащего Если условия 1 и 2 выполнены, то

Доказательство. Рассмотрим ряд Тейлора

где В работе, упомянутой в сноске на стр. 285, было показано, что

Таким образом, усредняя обе части (6.2), получаем

Будем рассматривать только такие 0, для которых Для этих значений также Таким образом, мы можем поделить обе части (6.4) на При этом получаем

В заметке, приведенной в сноске на стр. 281, было показано, что

Следовательно,

Пусть есть верхняя грань Тогда, выбрав соответствующим образом число С, имеем

Из этого соотношения, а также из леммы 5.5, следует, что является ограниченной функцией 6. Так как имеет положительную нижнюю границу, то теорема 6.1 вытекает из (6.7), леммы 5.4 и теоремы 4.1. Если то теорема 6.1 дает

Пределы для могут быть получены из пределов для В следующем пункте будет дан общий метод вычисления пределов для где произвольная функция

7. Определение нижней и верхней границ для среднего значения любой функции от Zn.

Пусть есть некоторая функция от Пределы для могут быть определены следующим образом. Сначала определим границы для Пусть некоторое положительное число. Очевидно, для любого имеем

Из (7.1) получаем границы

Границы для могут быть получены простым путем. Пусть опять некоторое положительное число. Для любого имеем

Следовательно, получаются границы

Так как

то верхняя и нижняя границы могут быть получены заменой условных средних значений в правой части (7.5) на их нижние и верхние границы, данные в (7.2) и (7.4).

8. Границы для ... когда ... близко к нулю, но не равно ему.

Пусть есть величина 0, для которой В этом пункте выведем границы для которые, вообще говоря, близки друг к другу, когда мало отличается от 0. Из уравнения (6.7) получаем

где Таким образом, границы для могут быть получены вычислением пределов для Границы для могут быть получены методом, описанным в п. 7.

Если близко к 0, то любые грубые границы для могут быть использованы, поскольку, как это было показано в п. 6, ограничена и

Границы для могут быть получены с помощью следующего рассуждения. Положим для простоты, что Тогда

Таким образом, чтобы определить границы для необходимо определить нижнюю границу для и верхнюю

границу для Эти границы могут быть вычислены методом, данным в п. 7.

Если , то

откуда посредством простых рассуждений легко получить искомые границы для

Обратим внимание на то, что границы для как было показано в этом пункте, близки друг к другу лишь тогда, когда близко к нулю.

При значениях при которых значительно отличается от нуля, могут использоваться границы для полученные в работе, приведенной в сноске на стр. 281.