§ 3.4. Оперативная характеристика последовательного критерия отношений вероятностей

Последовательный критерий отношений вероятностей для проверки гипотезы против гипотезы будет использоваться и в тех случаях, когда параметр может иметь значения поэтому целесообразно вывести всю оперативную характеристику критерия

В этом параграфе и в § 3.5 ограничимся для удобства случаем единственного неизвестного параметра Результаты без труда могут быть распространены на любое число параметров.

В п. 2.2.1 L(0) была определена как вероятность того, что процесс окончится принятием гипотезы когда истинное значение параметра равно 0. В этом параграфе покажем вывод приближенной формулы для в случае, когда пренебрегаем превышением величиной границ в момент окончания процесса. Строгий вывод (использующий другой метод) вместе с верхней и нижней границами для оперативной характеристики будет дан в приложении

Рассмотрим выражение

Для каждого значения величина определяется таким образом, что и среднее значение (3.28) равно 1, т. е.

если является плотностью вероятности, или

если имеет дискретное распределение (суммирование выполняется по всем возможным значениям Как показано в приложении при достаточно слабых ограничениях, накладываемых на характер функции распределения существует только одно значение такое, при котором выполняется (3.29).

Следовательно, для любого заданного значения функция от определенная выражением

является функцией распределения.

Так как то имеются две возможности: или Рассмотрим сначала случай

Пусть означает гипотезу, что является истинным распределением и означает гипотезу, что является истинным распределением х. Рассмотрим последовательный критерий отношений вероятностей 5 для проверки относительно определенный следующим образом. Проверку продолжаем до тех пор, пока остается справедливым неравенство

Принимаем гипотезу если

Отвергаем гипотезу (принимаем если

Так как

и так как то неравенства (3.31), (3.32) и (3.33) эквивалентны неравенствам

и

Но эти неравенства совпадают с неравенствами, определенными в последовательном критерии отношений вероятностей для проверки относительно при постоянных Таким образом, если S приводит к принятию то приводит к принятию а если S приводит к отклонению то приводит также к отклонению Из этого следует, что вероятность принятия когда истинно, т. е. величина является такой же, как и вероятность того, что критерий приведет к принятию когда является истинным распределением х.

Для определения последней вероятности применим формулы (3.9) и (3.11) к процедуре испытаний Обозначим через а вероятность того, что S приводит к отклонению когда истинно, и через вероятность того, что S приводит к принятию когда истинно Применяя формулы (3.9) и (3.11) к процедуре испытаний S, получим

и

Если при окончании процесса можно пренебречь эффектом превышения границ, то в выражениях (3.38) и (3.39) оставляется знак равенства, т. е.

Из (3.40) и (3.41) получаем

Так как то

Случай может быть рассмотрен таким образом, что при этом получается тот же результат, т. е. приближенная формула (3.43) справедлива и при

Интересно заметить, что Это легко получить из

Для иллюстрации определим для биномиального распределения случайной величины х, принимающей значения и 1. Пусть ее распределение вероятностей задано следующим образом:

Тогда уравнение может быть записано в виде

Для графического представления оперативной характеристики необходимо решить уравнение (3.44) относительно Будем рассматривать как параметр и решим (3.44) относительно 0. При этом получим

Если положить то (3.43) можно записать в виде

Выбирая произвольно величину А, получим с помощью (3.45) и (3.46) точку которая является точкой оперативной характеристики.

Оперативная характеристика может быть нарисована по достаточно большому числу точек соответствующих различным значениям k.

Типичная оперативная характеристика для случая биномиального распределения показана на рис. 10,

Рис. 10.

Вычислим теперь для случая нормального распределенного х с известной дисперсией и неизвестным средним значением 0. В этом случае имеем

Величина является ненулевым корнем уравнения

Вычисляя интеграл и решая уравнение относительно получим

Приближенное выражение для оперативной характеристики получается подстановкой в формулу (3.43) вместо