П.2.3. Определение верхней и нижней границ для оперативной характеристики.

Оперативная характеристика последовательного критерия определяется функцией где функция означает вероятность того, что последовательный процесс приводит к принятию когда истинное значение параметра равно В параграфе П.1 было показано, что вероятность того, что процесс никогда не окончится, равна нулю, т. е. было доказано соотношение Таким образом, вероятность того, что при окончании процесса гипотеза отклоняется (принимается равна

Используя фундаментальное тождество, выведенное в предыдущем параграфе, получим верхнюю и нижнюю границы для

Будем предполагать, что при любом значении распределение величины удовлетворяет трем условиям леммы Тогда для любого заданного существует только одно действительное значение такое, что Подставляя в фундаментальное тождество вместо получаем

так как

Обозначим через условное математическое ожидание величины при условии, что принимается т. е. что а через условное математическое ожидание величины при условии, что принимается т. е. что Тогда из получаем

Разрешая относительно получаем

Если абсолютное значение и дисперсия величины малы, что будет при близких то и приближенно равны и соответственно. Следовательно, хорошим приближением для в этом случае будет выражение

Это есть приближенная формула (3.43), приведенная в § 3.4. Нетрудно убедиться, что при при Разность стремится к нулю, если среднее значение и дисперсия величины стремятся к нулю.

Чтобы судить о степени приближения, которую дает нужно вывести верхнюю и нижнюю границы величины Эти границы могут быть получены при помощи

нижних и верхних границ для Рассмотрим сначала случай Для получения нижней границы величины рассмотрим действительную переменную С, которая принимает значения Для любой случайной величины и любого соотношения обозначим через условное математическое ожидание величины и при условии, что выполняется Пусть означает вероятность того, что Тогда получаем

Следовательно, нижняя граница определится выражением

где символ означает нижнюю границу относительно Так как является верхней границей то получим границы

Для вывода границ величины рассмотрим действительную переменную ограниченную значениями Пусть означает вероятность того, что Тогда получаем

Следовательно, верхняя граница определяется выражением

Так как является нижней границей величины то получаем границы для

Полагая

и

можно переписать неравенства и в виде

и

Так как очевидно, если Из этого, а также из и следует, что

где

Если то пределы для можно получить следующим образом. Пусть

Рассмотрим последовательный критерий определенный следующим образом. Продолжаем производить наблюдения все время, пока Заканчиваем процесс тем или другим решением в зависимости от неравенства или Обозначим через вероятность того, что при окончании процесса накопленная сумма окажется меньше или равна Тогда Обозначим величины и 80, соответствующие критерию через и Так как то можем применить к критерию выражение Таким образом, получаем

где Так как зависят только от распределения то Подставляя в вместо вместо вместо А, вместо вместо и вместо получаем

где Следовательно,

где

Подытожим результаты следующим образом. Если то границы функции определяются выражением Если то границы функции определяются выражением Величины определяются при помощи и

В пунктах будет произведен расчет величин для биномиального и нормального законов распределения. Если границы определенные выражениями и сильно отличаются от истинных значений, то желательно определить точные значения или по крайней мере найти лучшее приближение для величины чем данные выражениями и Метод решения данной проблемы описан в параграфе Там выводится точное значение функции для случая принимающего конечное число целых значений, кратных постоянной Если не обладает этим свойством, то достаточно хорошее приближение величины может быть получено аппроксимацией с любой желаемой степенью точности распределения дискретным распределением упомянутого выше типа, если только постоянная выбрана достаточно малой.