§ 11.2. Постановка задачи о последовательной оценке посредством интервалов или множеств

В способах оценки, основанных на фиксированном числе наблюдений, мы не можем, вообще говоря, контролировать длину получающегося доверительного интервала, так как она зависит от исхода выборки. Поэтому иногда может случиться, что полученный доверительный интервал столь велик, что оценка не имеет практического значения. Наличие этой возможности является недостатком, присущим методам оценки, основанным на заранее заданном числе наблюдений.

Например, длина наилучшего доверительного интервала, основанного на фиксированном числе наблюдений для среднего значения нормальной совокупности с неизвестным стандартным отклонением, пропорциональна оценке стандартного

отклонения совокупности а. Выборочное стандартное отклонение 5 может принимать любые значения и, вероятно, будет большим, если о велико.

Чтобы отыскать метод оценки, который приводит к доверительному интервалу не только с фиксированным доверительным коэффициентом, но и с наперед заданной длиной или с длиной, не превышающей наперед заданную величину, или удовлетворяющий какому-либо другому подобному условию, необходимо, вообще говоря, отказаться от подхода, основанного на фиксированном числе наблюдений, и построить методику последовательной оценки.

Общий характер методики последовательной оценки множествами можно описать следующим образом. Для любого положительного целого рассматриваем множество выборок объема Эти множества должны удовлетворять следующему условию. Если выборка элемент и если элемент то не должно быть равно выборке, состоящей из первых наблюдений С любым элементом из мы связываем подмножество пространства параметров. Процесс последовательной оценки осуществляется так: продолжаем наблюдения над х до тех пор, пока не достигнем значения при котором является элементом На этом этапе прекращаем процесс и утверждаем, что содержит истинную параметрическую точку, т. е. доверительное множество, полученное методом последовательной оценки.

Таким образом, методика последовательной оценки определяется множествами выборок и функцией множеств определенной для всех выборок из Основная задача последовательной оценки заключается в правильном выборе и Прежде всего потребуем выполнения следующих двух условий:

Условие Доверительное множество получающееся в результате последовательной оценки, должно удовлетворять некоторым установленным требованиям, касающимся его геометрической формы.

Условие II. Доверительное множество получающееся в результате последовательной оценки, должно удовлетворять неравенству

для всех параметрических точек (фиксированная величина у. часто выбирается порядка 0,95 или более).

Требования, накладываемые на геометрическую форму доверительного множества не представляют собой статистической проблемы и должны быть сформулированы на основе практического рассмотрения каждой частной задачи. Например, если неизвестный параметр только один (пространство параметров одномерное), можем потребовать, чтобы было интервалом, длина которого не должна превышать некоторой заранее заданной величины или некоторой данной функции средней точки интервала. Последний случай может оказаться интересным, например, при оценке среднего значения биномиального распределения. Если есть несколько неизвестных параметров, например и мы хотим оценить их совместно, можем потребовать, чтобы объем или диаметр доверительного множестви не превышал заранее фиксированной величины. Если мы хотим оценить один из неизвестных параметров, например, то можем потребовать, чтобы было интервалом, длина которого не превышала бы заранее заданной величины, или наложить более слабое требование, состоящее в том, чтобы было таким подмножеством -мерного пространства параметров, диаметр проекции которого на ось не превышал бы наперед заданной величины.

Обычно существует бесконечно много способов последовательной оценки, удовлетворяющих условиям Критерий выбора одной из них основывается на математическом ожидании числа наблюдений, требующихся для оценки. Способ последовательной оценки можно считать тем более хорошим, чем меньше математическое ожидание числа наблюдений, требующихся для оценки. Таким образом, будем пытаться выбрать из класса способов последовательной оценки, удовлетворяющих условиям такой, для которого математическое ожидание числа наблюдений было бы возможно более малым.

Задача отыскания оптимального способа последовательной оценки не решена. Ниже будет кратко рассмотрен специальный класс способов оценки, удовлетворяющих условиям I и II. Неизвестно, содержит ли этот класс оптимальное решение в указанном выше смысле.