ГЛАВА 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ОТНОШЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ПРОСТОЙ ГИПОТЕЗЫ Н0 ПРОТИВ ЕДИНСТВЕННОЙ КОНКУРИРУЮЩЕЙ ГИПОТЕЗЫ Н1

§ 3.1. Определение последовательного критерия отношений вероятностей

Пусть означает распределение рассматриваемой случайной величины. Пусть является гипотезой о том, что гипотеза о том, что следовательно, распределение х задается выражением когда справедлива и выражением когда справедлива

Обозначим последовательные наблюдения х через Рассмотрим, как упоминалось ранее, два случая: 1) распределение х непрерывное, 2) х имеет дискретное распределение. Желательно объединить оба случая, но при этом возникают трудности в формулировке некоторых утверждений, так как эти утверждения должны формулироваться по-разному в зависимости от того, имеет ли х непрерывное распределение или дискретное. Эта разница в формулировках чаще всего вызывается тем, что «плотность вероятности» в случае непрерывного распределения должна быть заменена «вероятностью» в дискретном случае. Ради краткости будем иногда использовать термин «вероятность» для обозначения плотности вероятности в непрерывном случае, если это не

приведет к Опасным недоразумениям. Учитывая это, часто можно формулировать дискретный и непрерывный случаи в виде единого утверждения.

Для любого положительного целого числа вероятность получения выборки определяется выражением

когда справедлива гипотеза и выражением

когда справедлива гипотеза

Последовательный критерий отношений вероятностей для проверки гипотезы относительно определяется следующим образом. Выбираются две положительные величины На каждой стадии эксперимента испытании для любого целого значения вычисляется отношение вероятностей Если

то эксперимент продолжается и производится дополнительное наблюдение. Если

то процесс оканчивается отклонением гипотезы (принятием Если

то процесс оканчивается принятием гипотезы

Постоянные Ли В должны быть определены так, чтобы критерий имел наперед заданную силу Соотношения, связывающие величины рассмотрены в следующем параграфе.

На практике более удобным является вычисление логарифма отношения чем непосредственное вычисление

отношения так как может быть записан как сумма членов, т. е.

Обозначим член этой суммы через т. е.

Если использовать величины то процедура испытаний выполняется следующим образом. На каждой стадии эксперимента вычисляется сумма Если

то эксперимент продолжается и производится дополнительное наблюдение. Если

то процесс оканчивается отклонением если

то процесс оканчивается принятием

Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим несколько простых примеров. Предположим, что случайная величина х может принимать только два значения: и 1. Обозначим вероятность того, что через величина которой предполагается неизвестной. Таким образом, является неизвестным параметром распределения. Распределение х дается функцией которая определена только для двух значений для а именно Пусть будет гипотезой, что гипотезой, что Тогда

Следовательно,

где означает число единиц в первых наблюдениях.

Принимаем Гипотезу если

и отвергаем гипотезу (принимаем ), если

если же

то продолжаем эксперимент, производя дополнительное наблюдение. Выражение (3.7) может, конечно, получаться последовательно. Если результатом наблюдения является единица, то к предшествующей величине (3.7) добавляется постоянная Если результатом наблюдения является нуль, то добавляется постоянная

В качестве второго примера рассмотрим случай проверки гипотезы о среднем значении нормального распределения. Пусть х будет нормально распределенной случайной величиной с единичной дисперсией и неизвестным средним значением 0. Пусть является гипотезой, что гипотезой, что Тогда

и

Следовательно,

и

Если

то процесс оканчивается отклонением если

то процесс оканчивается принятием если

то эксперимент продолжается и производится дополнительное наблюдение. Здесь также можно определять последовательно, если после каждого наблюдения производить вычисление величины и добавлять ее к предшествующей величине