П.7. Эффективность последовательного критерия отношений вероятностей

Пусть является любым последовательным критерием для проверки против которого вероятность ошибки первого рода равна а, вероятность ошибки второго рода равна и вероятность окончания процесса равна 1. Пусть

является последовательным критерием отношений вероятностей, сила которого равна силе критерия . Докажем, что последовательный критерий отношений вероятностей является оптимальным, т. е. что если в критерии можно пренебречь перескоком границ В величиной Этот перескок точно равен 0, если принимает только значения и если В являются целыми значениями, кратными В любом другом случае перескок будет отличен от 0. Однако, если и стандартное отклонение величины достаточно малы, то перескоком границ В можно пренебречь.

Для любой случайной величины и обозначим через условное математическое ожидание и при условии, что принимается гипотеза когда справедлива гипотеза Аналогично, пусть будет условным математическим ожиданием величины когда справедлива гипотеза а принимается В обозначениях этих математических ожиданий символ указывает на применяемый последовательный критерий. Пусть означает совокупность всех выборок, для которых критерий 5 приводит к принятию Тогда имеем:

и

Для доказательства оптимальности последовательного критерия отношений вероятностей выведем сначала две леммы.

Лемма Для любой случайной величины и справедливо неравенство

Доказательство. Неравенство можно записать в виде

где Лемма будет доказана, если показать, что выполняется для любой случайной величины и с нулевым средним значением. Разлагая в ряд Тейлора в окрестности получим

где лежит между и Следовательно,

и лемма доказана.

Лемма Пусть будет последовательным критерием, для которого существует конечное целое число обладающее тем свойством, что число наблюдений в критерии Тогда

Доказательство мы опускаем, так как оно по существу такое же, как и доказательство уравнения для последовательного критерия отношений вероятностей.

На основании лемм и можно вывести следующую теорему.

Теорема. Пусть будет любым последовательным критерием, для которого вероятность ошибки первого рода равна а, вероятность ошибки второго рода равна и вероятность того, что процесс рано или поздно окончится, равна 1. Тогда

и

Доказательство. Докажем сначала теорему для случая, когда существует конечное число при котором не превосходит В соответствии с леммой имеем

и

Из уравнений при помощи и леммы получаем неравенства:

и

Так как то следует из Аналогично, так как то следует из Это доказывает теорему для случая, когда существует такое конечное целое число что

Чтобы доказать теорему для любого последовательного критерия 5 силы обозначим через последовательный критерий, который получается усечением 5 на наблюдении, если решение не достигнуто ранее наблюдения. Пусть есть сила критерия Тогда имеем

и

Так как то из неравенств следуют неравенства Теорема полностью доказана.

Если в последовательном критерии отношений вероятностей перескок накопленный суммой границ В равен нулю, то точно равно правой части точно равно правой части Следовательно, в этом случае является оптимальным критерием.

Если малы, то среднее значение перескока через границы также мало, поэтому будут лишь слегка превышать выражения, стоящие в правых частях неравенств соответственно. Следовательно, в таких случаях последовательный критерий отношений вероятностей, не будучи оптимальным, очень близок к оптимальному критерию.

Если приближается к то отношение верхних границ как это следует из и к правым частям соответственно стремится к 1. Таким образом, эффективность последовательного критерия отношений вероятностей, если и не равна точно 1, то стремится к 1 при . Верхние границы выражений данные формулами и определяют нижние границы эффективности последовательного критерия отношения вероятностей