8.2. Спектральные матрицы

1. Стационарная совокупность двух случайных процессов , обладает корреляционной матрицей

(8.2.1)

Определим спектральную матрицу совокупности случайных процессов как матрицу

(8.2.2)

элементы которой равны преобразованиям Фурье от соответствующих элементов корреляционной матрицы (8.2.1):

2. Значения диагональных элементов этой матрицы совпадают с (8.1.2). Рассмотрим подробнее недиагональные элементы, представляющие собой совместные спектральные плотности случайных процессов и . Согласно(8.2.2)

(8.2.3)

Поскольку совместная корреляционная функция уже не является в общем случае положительно-определенной, то совместная спектральная плотность может принимать и отрицательные значения. Кроме того, в силу (7.5.4),(8.2.3)

Совместная спектральная плотность представляет собой в общем случае комплексную функцию частоты

(8.2.4)

где

Здесь использовано разложение совместной корреляционной функции на четную и нечетную компоненты [см. (7.5.5)]. Вещественную часть совместной спектральной плотности, являющуюся четной функцией частоты, назовем четной совместной спектральной плотностью, а мнимую часть — нечетной. Легко видеть также, что .

«Обратные» формулы, выражающие компоненты совместной корреляционной функции через совместные спектральные плотности, имеют вид

Таким образом,

(8.2.5)

3. Рассмотрим на двух простых примерах, какой вклад могут вносить в спектр четная и нечетная компоненты совместной спектральной плотности .

Пример 8.2.1. Найдем спектральную плотность случайного процесса

слагаемые которого образуют стационарную совокупность. Корреляционная функция суммы равна

Чтобы найти , необходимо взять косинус-трансформацию Фурье В результате получим

(8.2.6)

Таким образом, спектр суммы произвольных случайных процессов вовсе не равен сумме их спектров. Третье слагаемое в (8.2.6) играет роль некоторого интерференционного члена. Этот член дает дополнительный вклад за счет коррелированности, или, как часто говорят в физике, за счет когерентности процессов и . Причем этот интерференционный член может быть и отрицательным. В самом деле, пусть , тогда . Так как , то для всех .

Интересно отметить также, что вклад в интерференционный член дает именно четная корреляция. Если и коррелированы, но нечетным образом, так что , а , то, несмотря на коррелированность процессов, никакого интерференционного члена в спектре суммы не появится.

Пример 8.2.2. Рассмотрим ту же задачу для случайного процесса , где — некоторая временная задержка. В этом случае

Совершая преобразование Фурье, получим

(8.2.7)

что, как и должно быть, совпадает с (8.2.6) при . Интерференционный член содержит теперь не только четную совместную спектральную плотность, но и нечетную, обязанную нечетной корреляции процессов.Таким образом, как , так и могут давать вклад в спектры случайных процессов.

4. Разложению совместной спектральной плотности (8.2.4) аналогично разложение спектральной матрицы. Рассмотрим стационарный векторный процесс с корреляционной и спектральной матрицами, связанными соотношениями (8.2.2), (8.2.5).

Используя (7.6.1), найдем . Здесь четная спектральная матрица

(8.2.8)

имеет своими элементами , а элементы нечетной спектральнойльной матрицы

(8.2.9)

суть . Диагональными элементами матрицы являются , а у матрицы они равны нулю.

Очевидно, что есть нулевая матрица.

Если ввести в рассмотрение транспонированную спектральную матрицу , то легко видеть, что она связана с преобразованием (8.2.2), и, кроме того,

(8.2.10)

Отсюда следует, что есть симметрическая матрица, a — антисимметрическая.

Формулы, обратные (8.2.8), (8.2.9), имеют вид