82. Формула Дирихле.

Задав в формуле как функции v и промежуток изменения у мы тем самым определяем некоторую область (в) в плоскости XOY. В приложениях часто встречается случай, когда эта область приводится к равнобедренному треугольнику, образованному тремя прямыми (рис. 68)

Рис. 68.

Приводя двойной интеграл по площади этого треугольника к повторному и интегрируя в одном случае сначала по х, а потом но у, а в другом случае сначала по у и потом по получим формулу

которая называется формулой Дирихле.

Пример. (Задача Абеля). Определить кривую, расположенную в вертикальной плоскости и обладающую тем свойством, что тяжелая материальная точка, падающая по этой кривой, будучи выпущена без начальной скорости из любой тонки кривой М на высоте h (рис. 69) над самой низкой точкой кривой О, приходит в точку О в течение времени Т, которое есть данная функция от высоты :

Направим ось OY вертикально вверх, ось ОХ горизонтально, начало координат поместим в самую низкую точку искомой кривой, уравнение которой ищем в виде

Положим

По закону живых сил приращение кинетической энергии при переходе точки из начального положения в N будет равно работе силы тяжести, так как реакция кривой перпендикулярна пере мещеиию точки и потому не дает работы, т. е.

или

причем мы берем знак (—), так как при увеличении t высота у точки убывает.

Рис. 69.

Время падения из точки М в О соответствует изменению у от h до 0, а потому

Таким образом нам предстоит определить неизвестную функцию и из уравнения (8), которое называется интегральным уравнением, так как неизвестная функция и входит под знак интеграла.

Умножим обе части уравнения (8) на - и проинтегрируем по в пределах от 0 до :

Повторный интеграл, стоящий в правой части, можем преобразовать по формуле Дирихле следующим образом:

Внутренний интеграл вычисляется без особого труда, если ввести ноиую переменную t по формуле

Когда меняется от у до , переменная t меняется от 0 до 1, и мы имеем

откуда

и окончательно получаем

или

где есть известная функция от , определяемая по формуле

Дифференцируя соотношение (10) по , находим

что и дает решение задачи, так как, зная функцию , без труда найдем и по формуле (7).

Мы проделаем это до конца для частного случая таутохронной кривой, для которой время падения в самую низкую точку вообще не зависит от высоты А, т. е.

Мы имеем тогда

Для определения имеем теперь, в силу (7),

Положим

Мы найдем

где постоянная интегрирования. Читатель легко покажет, что полученная кривая есть циклоида, но только расположенная не так, как циклоида

В дальнейшем мы покажем, как выполнить дифференцирование по в обшей формуле (11).

Сделаем некоторые замечания по поводу полученного решения. Отметим, что мы получили решение (11) интегрального уравнения (8), предполагая, что такое решение существует. Строго говоря, мы должны еще проверить решение (11), т. е. подставить выражение (11) для и в уравнение (8), и показать совпадение левой и правой частей. Заметим еще, что двойной интеграл (9) является несобственным в том смысле, что его подынтегральная функция обращается в бесконечность. Из дальнейшего мы увидим, что он существует, и нетрудно показать, что формула (I), приводящая ею к повторным интегралам, применима в данном случае.