§ 9а. Бесконечная система изображений. Задача о двух сферах.

Часто оказывается, что при помощи конечного числа точечных зарядов нельзя получить эквипотенциальные поверхности нужной формы. В некоторых случаях, однако, можно сначала сделать эквипотенциальной одну поверхность, располагая внутри нее точечные заряды, а затем при помощи подходящей системы изображений сделать эквипотенциальными и другие поверхности. При этом, однако, первая поверхность искажается. Тогда при помощи третьей системы изображений ей можно придать опять первоначальную форму, но за счет искажения других поверхностей, и т. д. Если

эффект каждой последующей группы изображений стремится к нулю либо в силу уменьшения величины зарядов, либо из-за их удаления, либо за счет тенденции к взаимной компенсации, то при достаточном числе изображений получается сколь угодно близкая апроксимация точного решения -1).

Воспользуемся этим методом для вычисления собственных и взаимных емкостей двух сфер. Пусть радиусы сфер 1 и 2 суть а и а расстояние между их центрами равно с. В соответствии с § 17 гл. II коэффициент есть заряд на сфере 1, а — на сфере 2, когда сфера 2 заземлена, а сфера 1 имеет потенциал, равный единице. Коэффициент можно получить, поменяв местами а и в На фиг. 47,а и б приведены соответственно случаи при значениях

Фиг. 47.

Создадим сначала на сфере 1 потенциал, равный единице, поместив в ее центр О заряд Затем, поместив изображение на расстоянии влево от точки О [см. формулу (5.23)], добьемся равенства нулю потенциала сферы 2. Потенциал сферы 1 можно опять сделать равным единице при помощи изображения

расположенного на расстоянии вправо от точки О и опять привести потенциал сферы 2 к нулю, поместив изображение

на соответствующем расстоянии от точки О и т. д. Величина каждого последующего изображения уменьшается, а соответствующее решение приближается к точному. Складывая заряды на сфере 1, получим

где верхний знак относится к случаю Складывая заряды на сфере 2, для случая будем иметь

Б случае согласно § 18 гл. II, В силу симметрии для случая можно написать

В случае емкость не представляет интереса.

Сила притяжения между двумя сферами при согласно соотношению (2.56), равна

Чтобы получить потенциал в некоторой точке следует сложить потенциалы, созданные в этой точке всеми изображениями. Если потенциалы сфер равны и причем то в случае появится вторая система изображений, для получения которой нужно начинать с зарядов расположенных соответственно в центре сфер 1 и 2. Величины зарядов этой системы и их расположение получаются при перестановке и а и в соответствующих выражениях для первой системы изображений.