§ 7. Цепи из одинаковых звеньев.

В некоторых случаях приходится иметь дело с цепями, которые можно разделить на большое число одинаковых звеньев, причем связь каждого звена с соседними одинакова. Тогда вместо решения системы, состоящей из большого числа уравнений, можно сформулировать соотношение между токами в соседних контурах в виде разностного уравнения, при решении которого следует учитывать условия на концах цепи. В качестве примера применения этого метода рассмотрим цепь, состоящую из генератора и нагрузочного сопротивления причем ток от генератора к нагрузке подводится по одному проводу, а обратным проводом служит земля. Провод подвешен на одинаковых изоляторах, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Сопротивления участков провода между генератором и изолятором, между каждой парой изоляторов и между последним изолятором и нагрузкой одинаковы и равны а сопротивление земли ничтожно мало. В сухую погоду, когда никакой утечки через изоляторы нет, ток генератора равен но при влажной погоде для получения того же тока в нагрузке от генератора приходится брать ток Определим величину сопротивления каждого изолятора считая, что утечка во всех изоляторах одинаковая.

Для решения этой задачи начертим схему цепи (фиг. 61), перенумеруем изоляторы от 1 до и введем контурные токи. Закон Кирхгофа для контура имеет вид

или

Решение уравнения (6.20) (см. Двайт, 651.03) имеет вид

причем

или

Фиг. 61.

Чтобы найти заметим, что в первом контуре

а в -м контуре Из этих уравнений определяем А и В:

Подстановка значений в решение (6.21) дает

Для последнего контура получим

Подставляя из выражения (6.22) и из выражения (6.23), после упрощений найдем

Уравнение (6.24) можно решить графически, построив его левую часть как функцию и найдя пересечение этой кривой с осью Подстановка найденного значения в формулу (6.22) дает величину Если сопротивление провода мало по сравнению с сопротивлением изолятора, то так что Если эти величины малы, то можно считать (см. Двайт, 657.2), что и тогда решение для будет иметь вид

Ввиду того, что мало по сравнению с этой величиной в знаменателе можно пренебречь, и, поскольку, согласноформуле получш

где сопротивление всего провода без учета утечки.