§ 2. Волновое уравнение. Электромагнитные потенциалы. Вектор Герца.

Считая магнитную проницаемость постоянной, применим операцию ротора к уравнению (13.1)

Подставим сюда значение из уравнения (13.4), из уравнения (13.2), тогда получим

Аналогично, взяв ротор от обеих частей уравнения (13.2) и заменив согласно уравнению (13.3) (считая согласно уравнению (13.1), получим

Мы пришли к волновым уравнениям для вектора магнитной индукции вектора напряженности электрического поля. Как будет видно из дальнейшего, первый член в правой части этих уравнений обусловливает тепловое рассеивание энергии поля в среде. В непроводящих средах этот член отсутствует.

До сих пор мы широко пользовались скалярным электростатическим потенциалом, градиент которого со знаком минус давал напряженность электрического гголя, а также магнитостатическим вектор-потенциалом, дивергенция которого была равна нулю, а ротор был равен вектору магнитной индукции. Желательно теперь обобщить определения потенциалов на случай быстропеременных полей. Для этого выберем обобщенный магнитный вектор-потенциал А так, чтобы ротор его всегда был равен вектору магнитной индукции В и, следовательно, для постоянных полей вектор-потенциал А совпадал бы с магнитостатическим. Таким образом,

Исключая уравнения (13.2) и меняя порядок дифференцирования, получаем

В результате интегрирования этого уравнения избавляемся от ротора, по при этом появляется постоянная интегрирования, которую можно представить как градиент некоторого скаляра так как ротор градиента тождественно равен нулю

Введенная, таким образом, скалярная величина называется электрическим потенциалом и совпадает для статических полей с электростатическим потенциалом, рассмотренным в § 7 гл. I. Представляется удобным, хотя, как будет показано в § 2 гл. XIV, в этом нет необходимости, выбрать величины так, чтобы они удовлетворяли тем же уравнениям, что и векторы а именно:

Это накладывает на определенное, ограничение. Действительно, взяв дивергенцию от обеих частей уравнения (13.13) и положив т. е. [см. уравнение (13.3)], получаем

Сравнение этого уравнения с уравнением (13.15) показывает, что последнее может иметь место только при условии

Это условие совместимо также и с уравнением (13.14). Чтобы доказать последнее, необходимо взять градиент от обеих частей уравнения (13.16) и преобразовать левую часть, снова пользуясь векторным тождеством, приведенным в начале настоящего параграфа. Произведя замену в соответствии с уравнением (13.1) с учетом выражений (13.6) и (13.8), а согласно уравнению (13.13), после соответствующих сокращений мы придем к уравнению (13.14).

Покажем теперь, что полное электромагнитное иоле можно описать при помощи одного вектора называемого вектором Герца, через который потенциалы выражаются следующим образом:

Для удовлетворения уравнения (13.16), а также и (13.13) необходимо взять

Выразим вектор магнитной индукции, используя выражения (13.12) и (13.17), через вектор Герца

Уравнение (13.19) описывает все свойства электромагнитных волн. Для непроводящих сред, исключив из уравнений (13.13) и (13.16), получим

Как следует из уравнения (13.3), при дивергенция ноного вектор-потенциала А равна нулю.