§ 6. Решение в сферических координатах при аксиальной симметрии.
Предположим, что магнитное ноле, вызывающее вихревые токи, не зависит от
и не имеет
-составляющей. Тогда вектор-потенциал имеет только составляющую, т. е.
где у — единичный вектор в направлении
равный
Применим оператор Лапласа (3.17) к выражениям
по отдельности. После некоторой перегруппировки членов
уравнение (11.8) примет вид
Выписывая
в сферических координатах (3.17) и опуская
получим
где введено обозначение
Рассмотрим теперь стационарные вихревые токи, предполагая, что магнитное поле осциллирует с круговой частотой
Как и в § 13 гл. V, будем искать решение в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от
, а другая — только от
т. е.
Подставим это в выражение (11.48), умножим все на
и разделим на
тогда получим
где
Как и при решении уравнения (5.82), приравняем члены, зависящие от
величине
а члены, зависящие от
приравняем
; тем самым уравнение (11.50) будет тождественно удовлетворено. После дифференцирования уравнения (11.50) получаем
Первое из уравнений совпадает с дифференциальным уравнением (5.180) для присоединенных функций Лежандра, соответствующим значению
а второе является модифицированным уравнением Бесселя (5.406), в котором
Таким образом, в соответствии с соотношением (5.181) и § 33 гл. V.
является действительной частью выражения
Если
целое число, а это так и должно быть для
при Отсутствии коцических границ, то можно для второго решения вместо
использовать
как в § 38 гл. V.
В области, где проводимость равна нулю, левая часть выражения (11.48) обращается в нуль, и если положить
то мы получим, как и раньше, уравнение (11.52), но вместо уравнения (11.53) будем иметь
Решение этого уравнения [см. (5.84)] имеет вид
В непроводящих областях члены в соотношении (11.54), зависящие от
следует заменить этим выражением.