§ 6. Решение в сферических координатах при аксиальной симметрии.

Предположим, что магнитное ноле, вызывающее вихревые токи, не зависит от и не имеет -составляющей. Тогда вектор-потенциал имеет только составляющую, т. е.

где у — единичный вектор в направлении равный

Применим оператор Лапласа (3.17) к выражениям по отдельности. После некоторой перегруппировки членов

уравнение (11.8) примет вид

Выписывая в сферических координатах (3.17) и опуская получим

где введено обозначение

Рассмотрим теперь стационарные вихревые токи, предполагая, что магнитное поле осциллирует с круговой частотой Как и в § 13 гл. V, будем искать решение в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от , а другая — только от т. е.

Подставим это в выражение (11.48), умножим все на и разделим на тогда получим

где

Как и при решении уравнения (5.82), приравняем члены, зависящие от величине а члены, зависящие от приравняем ; тем самым уравнение (11.50) будет тождественно удовлетворено. После дифференцирования уравнения (11.50) получаем

Первое из уравнений совпадает с дифференциальным уравнением (5.180) для присоединенных функций Лежандра, соответствующим значению а второе является модифицированным уравнением Бесселя (5.406), в котором Таким образом, в соответствии с соотношением (5.181) и § 33 гл. V. является действительной частью выражения

Если целое число, а это так и должно быть для при Отсутствии коцических границ, то можно для второго решения вместо использовать как в § 38 гл. V.

В области, где проводимость равна нулю, левая часть выражения (11.48) обращается в нуль, и если положить то мы получим, как и раньше, уравнение (11.52), но вместо уравнения (11.53) будем иметь

Решение этого уравнения [см. (5.84)] имеет вид

В непроводящих областях члены в соотношении (11.54), зависящие от следует заменить этим выражением.