§ 9б. Уравнения в конечных разностях. Задача о двух сферах.
Для точных расчетов формулы последнего параграфа не очень удобны, если только
не малы. Установив общее соотношение между последовательными изображениями и решая полученное разностное уравнение, можно найти более компактные выражения, содержащие гиперболические функции. Обозначим
изображение в сфере 1 через
так что первоначальный заряд, в ее центре равен
изображение
в сфере 2 обозначим через
Расстояние от точки О до
равно
, а от точки О до
равно
(фиг. 47). Тогда
где нижний знак относится к случаю
, а верхний — к случаю
Исключая с
соотношений (5.32) и (5.33), получим
так что
Исключив
из соотношений (5.32) и (5.34), приведем результат к виду
Это есть, очевидно, уравнение в конечных разностях второго порядка с постоянными коэффициентами. Согласно общему методу решения таких уравнений, следует подставить в уравнение
разделить результат
на
и решить полученное квадратное уравнение для и алгебраически. Если два его решения суть
то решение разностного уравнения имеет вид
где
определяется начальными условиями. Рассматриваемый случай особенно прост, поскольку коэффициенты при
одинаковы. Пользуясь формулами (651.03) и (651.04) из справочника Двайта, согласно которым
получаем, что решение уравнения (5.35) можно записать в виде
если выбрать
Чтобы вычислить
напишем для первых двух изображений
Умножая первое из этих ураввений на
а и записывая его члены через
, найдем величины
Если подставить значения
в решение (5.37), то, используя (Двайт, 651.01), получим
Складывая заряды на сфере 1, находим
где нижний знак относится к случаю
(фиг. 47, а), а верхннй — к случаю
(фиг. 47, б). В случае
согласно § 18 гл.
Чтобы найтн
в случае
следует определить
Взяв верхннй знак к исключив из соотношений (5.31) и (5.32)
, получнм
Подставим значения
из ссотношения
воспользуемся формулам» (5.38) и (Двайт, 651.06); тогда
гак что сложение зарядов на сфере 2 дает
Емкость
в случае
в силу симметрии и соотношения (5.41) равна