§ 9б. Уравнения в конечных разностях. Задача о двух сферах.

Для точных расчетов формулы последнего параграфа не очень удобны, если только не малы. Установив общее соотношение между последовательными изображениями и решая полученное разностное уравнение, можно найти более компактные выражения, содержащие гиперболические функции. Обозначим изображение в сфере 1 через так что первоначальный заряд, в ее центре равен изображение в сфере 2 обозначим через Расстояние от точки О до равно , а от точки О до равно (фиг. 47). Тогда

где нижний знак относится к случаю , а верхний — к случаю Исключая с соотношений (5.32) и (5.33), получим

так что

Исключив из соотношений (5.32) и (5.34), приведем результат к виду

Это есть, очевидно, уравнение в конечных разностях второго порядка с постоянными коэффициентами. Согласно общему методу решения таких уравнений, следует подставить в уравнение разделить результат

на и решить полученное квадратное уравнение для и алгебраически. Если два его решения суть то решение разностного уравнения имеет вид

где определяется начальными условиями. Рассматриваемый случай особенно прост, поскольку коэффициенты при одинаковы. Пользуясь формулами (651.03) и (651.04) из справочника Двайта, согласно которым

получаем, что решение уравнения (5.35) можно записать в виде

если выбрать

Чтобы вычислить напишем для первых двух изображений

Умножая первое из этих ураввений на а и записывая его члены через , найдем величины

Если подставить значения в решение (5.37), то, используя (Двайт, 651.01), получим

Складывая заряды на сфере 1, находим

где нижний знак относится к случаю (фиг. 47, а), а верхннй — к случаю (фиг. 47, б). В случае согласно § 18 гл. Чтобы найтн в случае следует определить Взяв верхннй знак к исключив из соотношений (5.31) и (5.32) , получнм

Подставим значения из ссотношения воспользуемся формулам» (5.38) и (Двайт, 651.06); тогда

гак что сложение зарядов на сфере 2 дает

Емкость в случае в силу симметрии и соотношения (5.41) равна