§ 22. Граничные условия для магнитных полей и для вектор-потенциалов.
В предыдущем параграфе мы определили вектор-потенциал А для тех областей, где намагниченность не является однородной, а также на поверхностях, где она терпит разрыв. Найдем граничные условпя, которым должен удовлетворять вектор-потенциал А. Каждая из трех компонент А определяется скалярным выражением, аналитически совпадающим с выражением (1.8) и имеющим в случае вакуума вид
Ото выражение определяет электростатическим потенциал в свободном пространстве, обусловленный распределением электрических зарядов с объемной
плотностью рис поверхностной плотностью а. Из электростатики известно, что значение потенциала
на внутренней стороне поверхности
определяемое этими интегралами, равно значению потенциала
на внешней стороне поверхности
Далее, применяя теорему Гаусса о потоке электрической. индукции к небольшому дискообразному элементу объема, примыкающему к элементу
поверхности и настолько тонкому, что
можно считать пренебрежимо малым но сравнению с
после сокращении на
получим соотношение
Таким образом, мы знаем граничные условия, которым удовлетворяют интегралы вида (1.8), а следовательно, и каждая компонента выражения
Складывая все компоненты и заменяя
на
получим
и, как следует из выражения (7.111),
Если с одной стороны от границы имеется намагниченность
а с другой стороны
то для получения граничных условий достаточно представить себе, что граница является тонким слоем с некоторой магнитной проницаемостью, для границ которого можно написать условия (7.113) и (7.114), относя их к одной и той же нормали. Исключая затем
найдем
и
Чтобы выразить второе граничное условие через величину магнитной проницаемости, вместо
напишем
и воспользуемся соотношением
Вследствие условия
последние два члена пропадают. Заменяя
на
и используя выражение (7.5), после некоторых преобразований получпм
Подставляя значение
из соотношения (7.111), найдем
Согласно условию
равно нулю на всей границе, поэтому градиент этого выражения вдоль границы также обращается в нуль. Таким образом,
является вектором, нормальным к границе. Но правая часть вышенаписанного соотношения представляет собой вектор, направленный вдоль поверхности границы, поэтому
Теперь можно написать граничные условия, накладываемые на компоненты вектора А, в системе ортогональных криволинейных координат
рассмотренных в § 4, 5 и 6 гл. III. Пусть на границе координата
является постоянной, тогда, согласно условию (7.115), имеем
Введем в левую часть выражения
вместо В, после чего, используя соотношения (3.14) — (3.16), получим
Соотношения (7.118) и (7.119) являются искомыми граничными условиями.
Чтобы получить граничные условия, накладываемые на В, заметим, прежде всего, что, согласно условию (7.115), разность вектор-потенциалов в двух точках на границе раздела двух сред сохраняется при переходе через границу. Следовательно, производные от вектор-потенциала по обе стороны от границы, взятые в одинаковом направлении, параллельном границе, должны быть также равны между собой. Вектор
лежит в касательной плоскости к границе, поэтому
содержит только подобные производные. Напишем известное векторное тождество для дивергенции векторного произведения
При подстановке сюда
вместо А последний член, согласно условию (7.115), исчезает, и мы получаем
Подставляя В вместо
находим
Таким образом, нормальные компоненты магнитной индукции на границе раздела двух сред меняются непрерывно. Исходя из выражения (7.117), для тангенциальных компонент магнитной индукции находим следующее соотношение:
- Часто. оказывается возможным ввести два вектора
отличающихся от
и являющихся более простыми. Роторы этих векторов всюду дают то же значение магнитной индукции, что и роторы
; однако эти векторы, как будет показано в § 5 гл. VIII, удовлетворяют вместо условия (7.115) следующим граничным условиям:
На примере, разбираемом в следующем параграфе, будет ясно видно, что эти векторы являются более удобными при вычислении, чем
Они не определяются однозначно (как
при помощи интегралов типа
Мы будем называть их квазивектор-потенциалами.