§ 4. Ортогональные криволинейные координаты.

В большинстве электростатических задач заданными величинами являются: заряды или потенциалы всех проводников системы, величины остальных зарядов и их расположение, а также диэлектрическая ировицаемость среды как функция точки. Задача считается решенной, если определен потенциал во всех точках. Для этого необходимо найти решение уравнения Пуассона, удовлетворяющее заданным граничным условиям. Обычно существует такая система координат, в которой эти условия можно выразить наиболее просто и которой естественно поэтому пользоваться решении уравнения. Наиболее употребительными являются криволинейные ортоговальные системы координат.

Рассмотрим три семейства взаимно ортогональных поверхностей таких, что через каждую точку данной области проходит одна из поверхностей каждого семейства. Любая из поверхностей первого семейства характеризуется определенным численвым значением величины а второго и третьего семейств — численными значениями величин Бесконечно малый прямоугольный параллелепипед образуется шестью поверхностями их, Поскольку лишь в немногих случаях величины непосредственно выражают расстояния, для получения истинных длин ребер параллелепипеда необходимо, вообще говоря, умножить соответственно на множители

Последние могут меняться от точки к точке, т. е. являться функциями Таким образом, длины ребер параллелепипедов (см. фиг. 21) равны

Если V есть некоторая скалярная функция, то, по определению, компонентами ее градиента будут

Для вычисления дивергенции в этих координатах нужно применить теорему Остроградского — Гаусса (3.2) к бесконечно малому объему, показанному на фиг. 21. Нормальная составляющая потока вектора А, выходящего через грани и равна

Фиг. 21.

Добавляя соответствующие два слагаемые для четырех других граней и сравнивая полученное выражение с формулой (3.2), находим

Далее, замевяя и подставляя в уравнение Пуассона (3.5), имеем

При соотношение (3.13) дает уравнение Лапласа для неоднородного изотропного диэлектрика. Если диэлектрик однородный и изотропный, то — постоянная величина и ее можно вынести из-под знака дифференцирования.