§ 5. Скин-эффект в сплошном цилиндрическом проводнике.

В случае сплошного металлического стержня нужно в уравнении (11.3) положить потому что, согласно § 34а гл. V, при функция обращается в бесконечность. Тогда вместо выражений (11.29), (11.32) и (11.33) для будем иметь следующее:

Для получения численных значений необходимо величины разбить на действительную и мнимую части. Это производится при помощи функций введенных Кельвином; для этих функций существуют таблицы (см., например, Двайт, 1050). Таким образом, имеем

Подставляя (11.35) и (11.36) в (5.437) и (5.440), можно найти разложение этих функций в ряд. Используя функции в выражении (11.34), умноженном на и взяв от него действительную часть, получим выражение для плотности тока в цилиндрическом проводнике радиуса а в виде

Полный ток в проводе в любой момент времени можно выразить через величину магнитного поля на поверхности проводника, поскольку они связаны между собой соотношением Из соотношений (11.34) и (5.440) после сокращенйя на имеем

или

Средняя рассеиваемая мощность, приходящаяся на единицу длины в кольце радиуса и толщины согласно выражению (11.10), равна

где величина комплексно-сопряженная Отметим здесь же, что вели чине часто встречающейся в рассматриваемых уравнениях, соответствует комплексно-сопряженная величина Поэтому

Полная мощность, рассеиваемая в проводе (на единицу его длины), равна

Этот интеграл является частным случаем интеграла (5.426) и получается из последнего при вследствие чего результат, записанный череа функции будет иметь вид

В соответствии с выражением (11.39) квадрат эффективного значения равен

Если сопротивление на единицу длины при постоянном токе, то высокочастотное сопротивление равно

где, как и во многих таблицах, индекс «нуль» опущен и, согласно выражению (11.27),

и — радиус цилиндра.

Энергию магнитного поля внутри провода можно определить, воспользовавшись соотношением (11.39):

Тогда для средней энергии внутри провода, согласно выражению (8.12), получим

где введены сокращенные обозначения вместо и о вместо Поскольку, в силу соотношения (5.440), этот интеграл совпадает с интегралом (5.426), если в последнем положить поэтому его значение через функции равно

При помощи формул (828.1), (828.2), (829.3) и (829.4) из справочника Двайта эти функции сводятся к функциям нулевого порядка. Учитывая, что средняя энергия равна — и что определяется выражением (11.41), для внутренней самоиндукции на единицу длины — получим