Используя для
выражения (5.182) и (5.115), получим при помощи интегрирования по частям
Повторим интегрирование по частям, полагая каждый раз
Произведение
обращается в пуль на границах интервала, поскольку
содержит множитель
при
при
Поэтому после (то
) - кратного интегрирования по частям получим
Так как степень
при дифференцировании понижается, второй множитель в подинтегральном выражении оказывается, очевидно, постоянным. Поэтому, сохраняя лишь наивысшую степень и заменив
на
получим, что этот множитель равен
Весь интеграл с учетом формул (5.126) и (5.127) оказывается рапным
При
из формулы (5.192) следует
В случае то
весьма полезным является следующее интегральное соотношение:
Для доказательства этой формулы запишем уравнение (5.178), обозначив сначала
а потом
умножим первое уравнение на у, второе — на у, вычтем и проинтегрируем от — 1 до +1. Для интегрирования в случае
перенесем средний член уравнения (5.205)
в правую часть, возведем в квадрат, заменим всюду
на
умножим на
и исключим из результата
при помощи уравнения (5.208), возведенного в квадрат и умноженного на
При интегрировании от — 1 до +1 все члены, не содержащие
интегрируются согласно формуле
взаимно уничтожаются; в результате остается
Подставляя по формуле (5.190) и интегрируя (см. Двайт, 854.1), находим
При применении вектор-потенциала нам придется пользоваться свойствами ортогональности поверхностных векторных функций
определяемых соотношением
Интегрирование скалярного произведения двух таких функций дает
Заменяя второй член при иомоши уравнения (5.178) и группируя члены, находим
Согласно формулам (5.192) и (5.194), результат равен нулю при
и равен
при