Используя для 
выражения (5.182) и (5.115), получим при помощи интегрирования по частям
Повторим интегрирование по частям, полагая каждый раз
Произведение 
обращается в пуль на границах интервала, поскольку 
содержит множитель 
при 
при 
Поэтому после (то 
) - кратного интегрирования по частям получим
Так как степень 
при дифференцировании понижается, второй множитель в подинтегральном выражении оказывается, очевидно, постоянным. Поэтому, сохраняя лишь наивысшую степень и заменив 
на 
получим, что этот множитель равен
Весь интеграл с учетом формул (5.126) и (5.127) оказывается рапным
При 
из формулы (5.192) следует
В случае то 
весьма полезным является следующее интегральное соотношение:
Для доказательства этой формулы запишем уравнение (5.178), обозначив сначала 
а потом 
умножим первое уравнение на у, второе — на у, вычтем и проинтегрируем от — 1 до +1. Для интегрирования в случае 
перенесем средний член уравнения (5.205)
в правую часть, возведем в квадрат, заменим всюду 
на 
умножим на 
и исключим из результата 
при помощи уравнения (5.208), возведенного в квадрат и умноженного на 
При интегрировании от — 1 до +1 все члены, не содержащие 
интегрируются согласно формуле 
взаимно уничтожаются; в результате остается
Подставляя по формуле (5.190) и интегрируя (см. Двайт, 854.1), находим
При применении вектор-потенциала нам придется пользоваться свойствами ортогональности поверхностных векторных функций 
определяемых соотношением
Интегрирование скалярного произведения двух таких функций дает
Заменяя второй член при иомоши уравнения (5.178) и группируя члены, находим
Согласно формулам (5.192) и (5.194), результат равен нулю при 
и равен
при 
целое число и 
независимо от значений 
(см. Двайт, 435, 445 и 465).
необходимо вычислить интеграл от квадрата 
по поверхности сферы единичного радиуса.