§ 14. Длинная лента со скачкообразно меняющейся шириной.

Применим изложенную выше теорию к вычислению распределения тока в длинной, однородной по толщине проводящей ленте, полуширина которой меняется скачком от до . Область ленты вблизи уступа показана на фиг. 63, б.

Фиг. 63.

Очевидно, что такая граница получается, если давать действительной оси плоскости z, углы наклона соответственно в точках Чтобы после наклона получить между точками а конечное расстояние, необходимо поместить начало координат плоскости z, в точке плоскости z. Подставляя значения всех а и в выражение (4.85), найдем

Прежде чем выполнять интегрирование, определим входящие в выражение (6.59) постоянные а и с но методу, изложенному в § 29 гл. IV. Как и в § 29 гл. при постоянном Когда величина очень мала и изменяется от 0 до в плоскости у является большой отрицательной постоянной величиной, а х изменяется в плоскости z от до Из выражения (6.59) тогда находим

откуда Аналогично, у — большая положительная постоянная величина при так что

Откуда Решая относительно с и а, будем иметь

Подставим эти значения в выражение (6.59), заменим в первом члене и во втором на и проинтегрируем (см. Двайт, 120). В результате получим

Постоянная интегрирования отсутствует, так как из этой формулы следует, что, когда а когда

Физически очевидно, что вдоль разных границ проводника проходят различные линии тока. Если положить или где потенциальная функция, то (см. фиг. 63, а) линия тока будет проходить от до и линия тока от Следовательно (см. фиг. 63, б), эти линии тока будут проходить соответственно по правой и левой границам ленты, сверху вниз, а полный ток в ленте будет равен Подставляя получим

причем действительная часть z положительна, если положительна действительная часть

Если сопротивление между противоположными сторонами квадрата с площадью вырезанного из того же самого листового проводника, что и лента, то сопротивление широкого участка ленты (длиной будет а узкого (длиной Когда два таких участка ленты, широкий и узкий, соединены между собой так, как это показано на фиг. 63,б, сопротивление всей ленты будет не где добавочное сопротивление, обусловленное деформацией линий тока вблизи места соединения. Если то эквипотенциальные линии на фиг. 63, б параллельны оси. Вычислим для этого случая

На оси так что и выражение (6.61), если заменить на положить даст

Пусть тогда очень велико и (см. Двайт, 4 и 5.3)

Пользуясь формулой (702) из справочника Двайта и пренебрегая 1, по сравнению с получим

Если то очень мало как и раньше,

Вычитая из первого выражения второе, найдем

и, в силу формулы (6.55),

Подставляя значения для после упрощений получим следующее выражение:

Другие примеры применения этого метода можно найти в задачах, помещенных в конце главы.