§ 12. Поле токов, текущих по сферической пленке.
Введем функцию потока
и определим ее значение в некоторой точке
на тонкой сферической пленке радиуса а как полный ток, протекающий по пленке через любую кривую, проведенную на пленке между точкой
и точкой, где значение
равно нулю. Компоненты плотности тока оказываются, таким образом, связанными с функцией
уравнением
Найдем вектор-потенциал и магнитное поле, обусловленное этими токами. Поскольку любую возможную функцию
можно выразить в виде суммы поверхностных гармоник, то достаточно вычислить поле распределения
а затем посредством суперпозиции найти поле, соответствующее произвольной функции
Обозначим магнитную индукцию вне пленки через
а внутри через В.. Применяя соотношение (7.2) к небольшому контуру длиной
окружающему элемент пленки и лежащему в плоскости
получим
Воспользуемся соотношениями (7.56) и введем скалярную функцию
из выражения (7.34), тогда
Аналогично, взяв контур в направлении
получим
Умножим первое уравнение на
а второе — на
и затем вычтем одно из другого. В результате обе части оказываются полными дифференциалами, поэтому после интегрирования, помня, что при
будем иметь
Рассматривая
в виде
мы обязаны, исходя из соотношения (7.31), взять решение в форме
так как при этом выполняются требуемые условия, а именно:
при
конечная функция на бесконечности,
конечная функция в начале координат. Следовательно, согласно выражению (7.17), вектор-потенциал
вид
В каждой из этих составляющих множитель, содержащий
, можно выразить посредством соотношений (5.207) и (5.208) в виде суммы двух присоединенных функций Лежандра.