§ 12. Поле токов, текущих по сферической пленке.
Введем функцию потока 
и определим ее значение в некоторой точке 
на тонкой сферической пленке радиуса а как полный ток, протекающий по пленке через любую кривую, проведенную на пленке между точкой 
и точкой, где значение 
равно нулю. Компоненты плотности тока оказываются, таким образом, связанными с функцией 
уравнением
Найдем вектор-потенциал и магнитное поле, обусловленное этими токами. Поскольку любую возможную функцию 
можно выразить в виде суммы поверхностных гармоник, то достаточно вычислить поле распределения 
а затем посредством суперпозиции найти поле, соответствующее произвольной функции 
Обозначим магнитную индукцию вне пленки через 
а внутри через В.. Применяя соотношение (7.2) к небольшому контуру длиной 
окружающему элемент пленки и лежащему в плоскости 
получим
Воспользуемся соотношениями (7.56) и введем скалярную функцию 
из выражения (7.34), тогда
Аналогично, взяв контур в направлении 
получим
Умножим первое уравнение на 
а второе — на 
и затем вычтем одно из другого. В результате обе части оказываются полными дифференциалами, поэтому после интегрирования, помня, что при 
будем иметь
Рассматривая 
в виде 
мы обязаны, исходя из соотношения (7.31), взять решение в форме
так как при этом выполняются требуемые условия, а именно: 
при 
конечная функция на бесконечности, 
конечная функция в начале координат. Следовательно, согласно выражению (7.17), вектор-потенциал 
вид
В каждой из этих составляющих множитель, содержащий 
, можно выразить посредством соотношений (5.207) и (5.208) в виде суммы двух присоединенных функций Лежандра.
