§ 12. Поле токов, текущих по сферической пленке.

Введем функцию потока и определим ее значение в некоторой точке на тонкой сферической пленке радиуса а как полный ток, протекающий по пленке через любую кривую, проведенную на пленке между точкой и точкой, где значение равно нулю. Компоненты плотности тока оказываются, таким образом, связанными с функцией уравнением

Найдем вектор-потенциал и магнитное поле, обусловленное этими токами. Поскольку любую возможную функцию можно выразить в виде суммы поверхностных гармоник, то достаточно вычислить поле распределения а затем посредством суперпозиции найти поле, соответствующее произвольной функции Обозначим магнитную индукцию вне пленки через а внутри через В.. Применяя соотношение (7.2) к небольшому контуру длиной окружающему элемент пленки и лежащему в плоскости получим

Воспользуемся соотношениями (7.56) и введем скалярную функцию из выражения (7.34), тогда

Аналогично, взяв контур в направлении получим

Умножим первое уравнение на а второе — на и затем вычтем одно из другого. В результате обе части оказываются полными дифференциалами, поэтому после интегрирования, помня, что при будем иметь

Рассматривая в виде мы обязаны, исходя из соотношения (7.31), взять решение в форме

так как при этом выполняются требуемые условия, а именно: при конечная функция на бесконечности, конечная функция в начале координат. Следовательно, согласно выражению (7.17), вектор-потенциал вид

В каждой из этих составляющих множитель, содержащий , можно выразить посредством соотношений (5.207) и (5.208) в виде суммы двух присоединенных функций Лежандра.