§ 18. Задача о сплошном проводящем цилиндре.

Для иллюстрации применения бесселевых функций к задаче о проводнике, ограниченном цилиндрической изолирующей поверхностью, вычислим распределение потенциала в сплошном проводящем круглом цилиндре, длина которого равна радиус а, удельное сопротивление в том случае, когда ток подводится к нему при помощи электродов, имеющих вид узких кольцевых поясков, прижатых к цилиндру на расстоянии по обе стороны от его экватора. Ширину пояска будем считать настолько малой, что физически измерить ее невозможно, но в то же время отличной от нуля в математическом смысле, так что плотность тока и потенциал всюду будут конечны. Принимая экваториальную плоскость за плоскость нулевого потенциала, получаем, что решение уравнения непрерывности, остающееся конечным на оси, в соответствии с § 33а гл. V и формулой (5.311), имеет вид

На границе должно быть Это граничное условие удовлетворяется, если, имея в виду, что положить

Чтобы определить продифференцируем выражение (6.77) по [используя соотношения (5.440)], положим умножим результат на и проинтегрируем от 0 до с. В правой части останется только тот член, для которого (см. Двайт, 435). Поэтому, заменив на получаем

Применим к интегралу в правой части выражение (430.20) из справочника Двайта. На границе равно нулю всюду, за исключением поверхности покрытой электродом и лежащей в окрестности Эта поверхность настолько мала, что на ней можно принять равным Из формулы (6.8), полагая получим для интеграла в левой части

Постоянные будут равны

Формулы дают искомое решение.

В рассмотренной задаче границы трубок тока являются поверхностями вращения. Уравнение поверхности трубки, несущей ток можно получить, интегрируя плотность тока по поверхности диска, вырезанного трубкой, и приравнивая результат интегрирования току

Интегрируя это выражение при помощи формулы (5.441) и подставляя значение из формулы (6.79), получим

где значения вычисляются по формуле (6.78).