§ 16ж. Разложение функций по полиномам Лежандра.

Функцию, которую можно разложить в ряд Фурье в интервале можно аналогичвым методом разложить в ряд и по полиномам Лежандра в этом же ивтервале. Запишем этот ряд в виде

Умножим это равенство на и проинтегрируем от до в результате, согласно формуле (5.92), все члены, кроме того, исчезают. При помощи формулы (5.127) получаем

Отметим, что при в интервале . Это означает, что если ряд по полиномам Лежандра равен нулю, то должны равняться нулю коэффициенты при каждом из его членов. Как и в случае рядов Фурье, в точках разрыва сумма ряда равна полусумме звачений по обе стороны точки разрыва. Посредством подставовки формулы Родрига (5.115) в формулу (5.129) можно получить другое, часто более удобное, чем (5.129), выражение для Подстановка дает

Иптегрируя это соотношение несколько раз по частям, принимая каждый раз первый член за и, а второй за находим, что равво пулю и

и меняет знак; в результате остается -1

Если производные имеют простой вид, то обычно интегрирование в соотношении (5.130) не представляет труда.