§ 16ж. Разложение функций по полиномам Лежандра.
Функцию, которую можно разложить в ряд Фурье в интервале 
можно аналогичвым методом разложить в ряд и по полиномам Лежандра в этом же ивтервале. Запишем этот ряд в виде
Умножим это равенство на 
и проинтегрируем от 
до 
в результате, согласно формуле (5.92), все члены, кроме того, исчезают. При помощи формулы (5.127) получаем
Отметим, что при 
в интервале 
. Это означает, что если ряд по полиномам Лежандра равен нулю, то должны равняться нулю коэффициенты при каждом из его членов. Как и в случае рядов Фурье, в точках разрыва сумма ряда равна полусумме звачений 
по обе стороны точки разрыва. Посредством подставовки формулы Родрига (5.115) в формулу (5.129) можно получить другое, часто более удобное, чем (5.129), выражение для 
Подстановка дает
Иптегрируя это соотношение несколько раз по частям, принимая каждый раз первый член за и, а второй за 
находим, что 
равво пулю и
и 
меняет знак; в результате остается -1
Если производные 
имеют простой вид, то обычно интегрирование в соотношении (5.130) не представляет труда.
