§ 9. Силовые линии.

Одним из наиболее полезных способов наглядного представления электрического поля является изображение его при помощи «силовых линий» или «эквипотенциальных поверхностей». Силовая ливия электрического поля — это такая ваправленная кривая, касательная к которой в любой точке совпадает по направлению с напряженностью электрического поля в этой точке. Отсюда следует, что если -элемент дуги этой кривой,

где X — скалярный множитель. Выразив векторы через их компоненты в прямоугольной системе координат и исключив X, мы получим дифференциальное уравнение силовых линий

Аналогичные уравнения можно ваписать в других координатных системах, если воспользоваться результатами § 3 и 5 гл. III. Существуют более простые методы получения уравневий силовых линий, не требующие интегрирования этих уравнений. Однако один пример на их непосредственное интегрирование мы все же приведем здесь. Рассмотрим поле, созданное двумя зарядами: в точке в точке Поскольку в силу симметрии поле одинаково в любом сечении, содержащем ось х, то, в частности, за это сечение можно принять плоскость Сумма х-составляющих напряженности электрических нолей, созданных двумя этими зарядами в любой точке пространства, равна где

Или, произведя замену

получим

Аналогично

Уравнение (1.21) примет вид

Фиг. 3. (см. скан) Поле двух равных зарядов противоположного знака. Силовые линии изображены сплошными кривыми, а эквипотенциальные линии — пунктирными

Решив (1.22) относительно у их и взяв отношение их дифференциалов, получим

Сравнивая эти два выражения для мы видим, что

Разделяя переменные и интегрируя, находим

Или, возвращаясь к х и у,

На фиг. 3 и 4 показаны силовые линии, описываемые этим уравнением; на каждой из них указаны соответствующие значения величин С. Более простой метод получения этого уравнения при помощи теоремы Гаусса о потоке электрической индукции приводится в § 116.

Фиг. 4. Поле двух равных зарядов одного знака. Силовые линин изображены сплошными кривыми, а эквипотенциальные линии — пунктирными

Левую часть уравнения (1.23) можно переписать в виде

здесь Если устремить и представить радикалы в виде рядов по степеням а (см. Двайт, 9.03), а затем пренебречь членами порядка и выше, то, введя новую постоянную С вместо мы получим уравнение

являющееся уравнением силовых ли вин электрического диполя, показанных на фиг. 5.