§ 16а. Зональные гармоники. Уравнение Лежандра.
Прежде чем исследовать общее решение уравнения (5.102), рассмотрим наиболее важный частный случай, когда V не зависит от
постоянная и, согласно решению (5.100),
. Если обозначить
через
то уравнение (5.102) примет вид
Это уравнение называется уравнением Лежандра, а его решения — зональными гармониками.
§ 16б. Решение уравнения Лежандра при помощи рядов.
Чтобы получить решение уравнения (5.103) в виде ряда, положим
Подстановка выражения (5.104) в уравнение (5.103) дает
Чтобы это равенство удовлетворялось при любых значениях
коэффициенты при различных степенях
должны порознь равняться нулю, т. е.
Отметим, что если
то
согласно соотношению (5.105), а
равны нулю при коночных «
таким образом, все отрицательные
пени
в решении отсутствуют. Следовательно, если выбрать
и сохранить четные степени
решение можно записать в виде
Кгли выбрать
и сохранить нечетные степени то решение будет
Общее решение уравнения (5.103) в интервале
имеет вид
независимо от того, является ли
целым числом или дробью, действительным или комплексным; необходимо лишь, чтобы ряды были сходящимися.
Рекуррентные формулы для
можно получить вычитанием
из
Аналогично получаем
Дифференцируя ряд (5.107) и прибавляя
будем иметь
аналогично,