§ 16а. Зональные гармоники. Уравнение Лежандра.

Прежде чем исследовать общее решение уравнения (5.102), рассмотрим наиболее важный частный случай, когда V не зависит от постоянная и, согласно решению (5.100), . Если обозначить через то уравнение (5.102) примет вид

Это уравнение называется уравнением Лежандра, а его решения — зональными гармониками.

§ 16б. Решение уравнения Лежандра при помощи рядов.

Чтобы получить решение уравнения (5.103) в виде ряда, положим

Подстановка выражения (5.104) в уравнение (5.103) дает

Чтобы это равенство удовлетворялось при любых значениях коэффициенты при различных степенях должны порознь равняться нулю, т. е.

Отметим, что если то согласно соотношению (5.105), а равны нулю при коночных « таким образом, все отрицательные пени в решении отсутствуют. Следовательно, если выбрать и сохранить четные степени решение можно записать в виде

Кгли выбрать и сохранить нечетные степени то решение будет

Общее решение уравнения (5.103) в интервале имеет вид

независимо от того, является ли целым числом или дробью, действительным или комплексным; необходимо лишь, чтобы ряды были сходящимися.

Рекуррентные формулы для можно получить вычитанием из

Аналогично получаем

Дифференцируя ряд (5.107) и прибавляя будем иметь

аналогично,