§ 23. Предельные значения сопротивления.

Общие теоремы, изложенные в § 12, часто дают возможность найти предельные значения, между которыми заключено сопротивление проводника, даже в том случае, когда нельзя вычислить точное значение. Для нахождения нижнего предела сопротивления разместим внутри проводника тонкие идеально проводящие слои таким образом, чтобы они, с одной стороны, совпадали по возможности точвее с действительными эквипотенциальными поверхностями, а с другой стороны, давали возможность вычислить сопротивление полученного проводника. Как следует из § 12, это сопротивление будет равно сопротивлению исходного проводника или будет меньше его. Чтобы найти верхний предел, введем внутрь проводника как можно ближе к действительным линиям тока тонкие слои изолятора с таким расчетом, чтобы оказалось возможным вычислить сопротивление измененного проводника. Как известно из § 12, это сопротивление будет равно сопротивленшо исходного проводника или будет больше его.

Например, сопротивление между двумя электродами данной формы имеет промежуточное значение между сопротивлениями, соответствующими электродам, поверхности которых описаны вокруг данных электродов и вписаны в них. В качестве характерного примера рассмотрим сопротивление между идеально проводящими электродами, прижатыми к концам подковообразного проводника с треугольным поперечным сечением (фиг. 66). Для получения верхнего предела сопротивления введем в проводник бесконечно тонкие слои изолятора и расположим их на очень малом расстоянии друг от друга таким образом, чтобы ток в проводнике протекал только по прямым линиям и полуокружностям. Длина такого слоя, как видно из фиг. 66, равва Площадь соответствующего поперечного течения равна следовательно, сопротивление

Фиг. 66.

Все слои параллельны, гак что, согласно формуле (6.14), верхний предел сопротивления (см. Двайт, 91.1) будет равен

Чтобы найти нижний предел сопротивления, введем в сечения проводника идеально проводящие слои. В прямолинейных частях проводника и ток распределится равномерно, и сопротивление их будет равво . В закругленной части проводник имеет форму треугольной силовой трубки в двухмерном электростатическом поле, описываемом функцией Отсюда следует, что функция потока и потенциальная функция имеют вид

Сопротивление полоски, лежащей на расстоянии у (см. фиг. 66), в силу формулы (6.55), равно

Полоски соединены параллельно, следовательно, (см. Двайт, 620),

Так как изогнутая часть проводника и обе прямолинейные части соединены последовательно, то нижнее предельное значение сопротивления будет равно