§ 38. Модифицированные бесселевы функции нецелого порядка.

Общее решение модифицированного уравнения Бесселя в том случае, когда является целым числом, молено получить в результате замены в выражении на

Функция является линейной комбинацией Для этих функций справедливы полученные выше рекуррентные формулы. Формулы (5.394)-(5.398) дают

Общая формула принимает наиболее простой вид, если воспользоваться экспоненциальными функциями

где в обеих частях нужпо выбрать либо верхний, либо нижний знак.

Как так и обращаются в бесконечность при

Решением, обращающимся в нуль при является функция определяемая соотношением в котором следует заменить на Исключим из этого соотношения функцию при помощи формулы (5.400), введем, согласно выражению (5.407), функции и

представим их в виде . В результате экспоненциальные функции с положительными показателями степени сокращаются и мы получаем

В простейших случаях

При основную роль в сумме (5.470) играет член так что

Сфернческие бесселевы функции можпо определить следующим образом:

При помощи выражений (5.409) и (5.400) находим

Отсюда, принимая во вшшанне соотношение (5.403), получим

Рассматриваемые функции связаны с функциями Шелкунова и Стрэттона следующим образом:

Рекуррентные формулы, в соответствии с § 336 и выражением (5.473), имеют вид