§ 13. Излучение равномерно ускоренного, прямолинейно движущегося электрона.

Результаты предыдущего параграфа можно применить к случаю ускоренного движения реального заряда, например электрона, при условии, что ускорение достаточно мало и, следовательно, можно пренебречь изменением времени запаздывания на протяжении размеров электрона. В противном случае для нахождения поля необходимо было бы знать конфигурацию электрона, что при современном уровне знаний неосуществимо. Предполагая ускорение достаточно малым, чтобы можно было воспользоваться формулами (16.71) и (16.72), подсчитаем поле излучения прямолинейно движущегося электрона на больших расстояниях от него, если электрон испытывает постоянное торможение (постоянное отрицательное ускорение). Такая ситуация имеет место, например, внутри антикатода в рентгеновской трубке.

Для нахождения В проще оперировать с вектор-потенциалом А. Согласно выражению (16.71), вектор-потенциал А имеет только -составляющую, а следовательно, В имеет только -составляющую, где азимутальный угол, отсчитываемый вокруг оси движения. Мы знаем зависимость от и хотим найти зависимость А от в некоторой удаленной точке. Так как В равен ротору А, то

Поскольку [6] можно записать в виде то все члены, кроме первого, имеют в знаменателе величину поэтому на больших расстояниях можно сохранить только первый член, в котором неизвестным

является множитель др. Для его вычисления воспользуемся диаграммой, показывающей, что возмущение, произведенное электроном в момент времени в точке достигнет точки в тот же момент времени, в какой и возмущение, вышедшее из точки О в момент придет в точку Если принять, что это последнее возмущение проходят путь то, пользуясь фиг. 144, а, можно написать следующие соотношения:

Учитывая, что и предполагая, что несущественно меняется в интервале исключим при помощи выражения из соотношения (16.75) и пренебрежем членами по сравнению с

Фиг. 144.

Тогда, введя получим

Подставляя в первый член выражения (16.73) соотношения (16.71) и (16.76) и помня, что при вычислении надо дифференцировать и найдем

Если расстояние до точки наблюдения значительно превышает расстояние, на котором происходит торможение электрона до полной его остановки, то это возмущение представляет собой сферическую волну, в которой в силу соотношения этом можно было бы убедиться, вычислив непосредственно из выражений (16.71) и (16.72).

Воспользуемся теперь формулой (16.77), чтобы определить распределение в пространстве полной энергии, излучаемой при остановке электрона. В любой момент времени интенсивность излучения дается вектором Умова — Пойнтинга (13.23)

Полное излучение, проходящее через данную точку, равно интегралу от вектора Умова — Пойнтинга в этой точке по времени, в течение которого длится импульс. Но скорость является функцией времени запаздывания у электрона, поэтому нужно найти соотношение между этим временем и временем в точке наблюдения. Из фиг. 144, б видно, что если импульс, возникший от электрона в момент времени достигает точки в момент

х, а импульс, возникший от электрона в момент попадает в в момент то справедливы следующие соотношения:

Исключая при помощи соотношения из выражения (16.80), опуская члены с малые по сравнению с и введя вместо получим

Таким образом, для полной энергии, излученной в направлении найдем

Или учитывая, что получаем (см. Двайт, 90)

В последнем члене опущены обозначения запаздывания, так как, по предположению, расстояние, на котором возникает возмущение, мало по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Формула (16.82), полученная Зоммерфельдом, дает хорошее совпадение с измеренным распределением интенсивности «белых» рентгеновских лучей, если принять во внимание поглощение излучения антикатодом. На фиг. 144, в изображены соответствующие кривые при разных