§ 14. Представление поля круглой петли через сферические, гармоники.

Предположим, что плотность тока на поверхности сферы всюду равна нулю, за исключением полосы ширина которой настолько мала, что физически ее трудно измерить, но все же она отлична от нуля, так что плотность тока и вектор-потенциал—функции всюду ограниченные. Пользуясь выражениями (7.61) и (7.62), можно написать

Будем вычислять величины так же как и в гл. V, путем умножения обеих частей равенства на и интегрирования от до Согласно соотношению (5.92), все члены справа исчезают, кроме тех, для которых и в соответствии с выражением (5.194) имеем

Плотность тока отлична от нуля лишь в полосе шириной эта полоса настолько узка, что функцию на ней можно считать постоянной, имеющей значение (сок а). Тогда интеграл оказывается равным

Таким образом,

Пользуясь выражением (7.63), находим вектор-потенциал в области

а из выражений (7.65) и (7.67) получаем компоненты магнитной индукции

где Для области аналогичные выражения получаются, как и прежде, при помощи соотношений (7.66) и (7.68). Пусть начало координат находится в центре петли, тогда так что четные значения исключаются; пользуясь результатами § 16з гл. V, для получим

Если больше а, то в выражении (7.74) следует заменить на а в выражении на и .

Согласно уравнению (7.42) и соотношению (7.71), уравнения поверхности силовых трубок будут иметь вид