§ 36а. Представление обратного расстояния через модифицированные бесселевы функции.

Найдем выражение для обратного расстояния между двумя точками с координатами в цилиндрической системе координат. Для этого можно воспользоваться методом, изложенным в § 31д; однако проще исходить из выражения для потенциала точечного заряда, находящегося посередине между двумя плоскостями, расположенными на расстоянии друг от друга. Потенциал такого заряда можно получить из выражения (5.435), если положить и сдвинуть начало координат на Поскольку при этом сохраняются только нечетные значения для будем иметь

где Полагая получим

Допустим теперь, что и, следовательно, этом суммирование по в пределах переходит, по определению, в интегрирование по в в пределах Следовательно,

При в выражении (5.449) следует поменять местами Если то суммирование исчезает и

В случае заменим в выражении на и сравним с выражением (5.449). Из сравнения следует, что при

Для проверки выбора произвольной постоянной в выражении (5.443) подставим определяемое этой формулой значение в выражение (5.450). Интегрируя сначала по к (см. Двайт, 577.2), а затем по (см. Двайт, 120.01), убеждаемся, что равенство (5.450) удовлетворяется.