§ 28а. «Сплюснутые» сфероидальные координаты.

Обычными геометрическими объектами, встречающимися в электрической аппаратуре, являются тонкий круглый диск и тонкий лист с круглым отверстием. Ни одна из изученных до пор координатных систем не образует таких естественных границ, за исключением конфокальной системы, описанной в § 2 и 3. В этой системе, фиксируя значение одной из координат и не ограничивая

пределов изменения остальных, можно получить поверхность требуемой формы. Наличие аксиальной симметрии, когда трехосные эллипсоиды превращаются в сплюснутые сфероиды, сильно упрощает задачу. Ниже рассматривается решение уравнения Лапласа в такой системе координат; оно содержит функции, известные под названием гармоник сплюснутого сфероида.

Положим в уравнении (5.4) большие полуоси и с равными друг другу и обозначим Тогда уравнение можно записать в виде

Положим в этом уравнении при или мы получаем конфокальные сплюснутые сфероиды, а при или (где конфокальные одногюлостные гиперболоиды. Третьей координатой является, очевидно, азимутальный угол Уравнение сфероидов имеет вид

а уравнение гиперболоидов —

Исключив из этих уравнений, получим

а исключив

Координата всегда положительна, а а; принимает значения от до Поэтому если выбрать то следует принять (см. фиг. 54), а если выбрать то следует принять (см. фиг. 53).

Чтобы написать уравнение Лапласа в такой системе координат, необходимо вычислить коэффициенты в уравнении (3.13). Согласно выражениям (3.10),

При помощи формулы (5.5) получаем

Записывая координаты в порядке и подставляя вместо их значения (5.237) и (5-238), находим

Уравнение Лапласа (3.13) можно записать в виде