§ 22. Поверхность вращения.

В качестве другого примера найдем решение уравнения (6.91) для поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси однозначная функция Очевидно, что на такой поверхности положение любой точки можно определить ортогональными координатами где азимутальный угол, отсчитываемый вокруг оси z. Положим в § 20 координату численно равной . В силу симметрии не зависят от Тогда уравнение (6.91) принимает вид

Чтобы найти решение этого уравнения, введем новую переменную и, равную нулю при и удовлетворяющую соотношению

Тогда уравнение (6.97) принимает вид

Как было показано в § 10 гл. IV, решениями этого уравнения являются функции или причем

Чтобы выразить и через заданные величины, нужно вычислить Уравнение поверхности имеет вид

так что

и

откуда

Подставляя эти значения в соотношение (6.98), получим

Поскольку при увеличении на мы возвращаемся к той же линии на поверхности, для однозначности полученного решения необходимо, чтобы была периодической функцией с периодом По форме решение совпадает с решением для цилиндрической поверхности, которую можно развернуть в плоскую ленту. Если, как показано на фиг. 65, поверхность вращения замкнута на одном конце, то в точке пересечения поверхности с осыо согласно выражению (6.103), эквивалентный цилиндр будет простираться до Если один из концов поверхности замкнут (фиг. 65), то эквивалентный цилиндр также будет оканчиваться при некотором положительном значении и и граничные условия на краю цилиндра будут выражаться той же функцией угла что и граничные условия на краю поверхности вращения, изображенной на фигуре.

Фиг. 65.