§ 21. Вектор-потенциал и вектор намагниченности.

Определение вектор-потенциала, данное выражением (7.9), оказалось достаточным во всех рассмотренных выше случаях, когда вся область предполагалась заполненной средой с постоянной магнитной проницаемостью. Если нее изменяется непрерывно или имеет разрывы непрерывности, то для однозначного определения вектор-потенциала необходимо рассмотреть природу намагничивания. В § 7 гл. XII будет приведено экспериментальное подтверждение того, что намагниченность обусловливается круговыми токами или вращением электрических зарядов внутри тела. Введем вектор магнитный момент (на единицу объема), обусловленный этими токами (или спинами), и назовем его вектором намагниченности. При помощи выражения (7.49), полагая и измеряя от точки наблюдения, для вектор-потенциала, описывающего поле, создаваемое намагниченностью пблучим

Преобразуем это уравнение, пользуясь векторными тождествами

и

где — единичный вектор, направленный вдоль внешней нормали к поверхности ограничивающей объем Соотношение (7.106) доказывается при помощи теоремы Остроградского-Гаусса (3.2), если подставить в нее , где - постоянный вектор, так что и

Поскольку это справедливо для произвольного вектора а, то отсюда вытекает справедливость соотношения (7.106). Применение соотношений (7.105) и (7.106) к выражению (7.104) дает

При однородной намагниченности внутри рассматриваемой ограниченной области выражение (7.107) более удобно, чем (7.104), ибо в этом случае интеграл по объему в выражении (7.107) обращается в нуль. Пусть плотность истинного тока, тогда полный вектор-потенциал равен

Если заданы только распределения тока и величины магнитной проницаемости, как это и имеет место в большинстве случаев, то для применения этой формулы нужно выразить через Для этого заметим, что на больших расстояниях от замкнутых контуров конечных размеров магнитная индукция и, следовательно, намагниченность обратно пропорциональны квадрату (или более высоким степеням) поэтому интеграл по поверхности в выражении (7.107) исчезает. Если магнитная проницаемость в этой области постоянна и магнитный момент обусловлен лишь током то вектор-потенциал должен также определяться выражением (7.9), откуда, сравнивая его с соотношением (7.108), имеем

Мы определяем в изотропной, но не однородной среде таким образом, чтобы это уравнение оставалось в силе. При помощи его исключим из соотношения (7.4) и, принимая во внимание, что при постоянном значении окончательное уравненгге должно сводиться к соотношению (7.4), а также учитывая, что в соответствии с экспериментальными данными вектор пропорционален В и имеет одинаковое с направление, получим

Аналогично тому, как соотношение (7.2) получается из (7.4), нетрудно вывести из (7.110) следующее соотношение: