§ 19. Преобразование Шварца.

Одним наиболее употребительных является преобразование, при котором верхняя полуплоскость ограниченная снизу действительной осью, переходит во внутреннюю область некоторого многоугольника на плоскости z пли наоборот. Если эта область конечна, то граница ее молшт быть целиком образована при помощи деформации действительной оси плоскости Если же внутренняя область простирается в бесконечность, то соответствующая часть границы образуется путем растягивания или сжатия бесконечно удаленной дуги верхней полуплоскости

Чтобы пайти преобразование, сгибающее действительную ось плоскости z, в границу заданного многоугольника на плоскости z, рассмотрим комплексную прпизводпую

где некоторые действительные числа, комплексная постоянная, причем Как известно, аргумент произведения нескольких комплексных чисел, возведенных в какую-нибудь степень, равен сумме произведений аргументов этих чисел на соответствующий показатель степени. Поэтому

Пусть т. е. является элементом длины вдоль действительной оси плоскости тогда аргумент

равен углу, который образует элемент полученный при преобразовании с действительной осью плоскости z. Если является действительным числом, находящимся между то

действительные положительные числа, аргумент которых равен действительные, но отрицательные числа, аргумент которых равен

Поэтому на основании соотношений (4.80) и (4.81) найдем

Итак, все элементы оси лежащие между точками и (фиг. 34), после преобразования сохраияют свое направление и остаются прямолинейными; их наклон к оси х определяется формулой (4.82).

Фиг. 34.

Аналогично, те элементы, которые лежат между также остаются прямолинейными, но имеют другой наклон

Угол между этими линиями равен

Мы построили две стороны многоугольника. Подобным же образом, подбирая значения можно построить и весь многоугольник, имеющий нужные длины сторон и нужные углы при вершинах.

Предположим, что требуется найти поле пад ломаной линией в плоскости z, показанной на фиг. 34. Любой угол, например измеренный между двумя прилегающими сторонами многоугольника в области, где ищется поле, называется внутренним углом многоугольника. Так как то для определения этого угла мы имеем

Подставим соотношение (4.84) в (4.79)

Интегрируя это выражение, приходим к искомому преобразованию

Подбирая для тот или иной аргумент, можно, как это видно из соотношения (4.82), произвольным образом ориентировать многоугольник

на плоскости z. Размеры многоугольника определяются модулем постоянной Помимо этого, многоугольник можно без всякого вращения, меняя лишь постоянную располагать в любом требуемом направлении.

Чтобы убедиться в правильности выбора стороны границы при отсчете положим тогда действительная ось совпадет с эквипотенциальной линией. При напряженность поля должна в вершинах обращаться в нуль, а при становиться там бесконечной. Полагая в соотношении легко убедиться в правильности наших результатов.