§ 9. Комплексные величины.

Прежде чем переходить к сопряженным функциям и конформным преобразованиям, напомним вкратце некоторые наиболее важные свойства комплексных величин. Если то очевидно, что каждой точке плоскости называемой в связи с этим z-плоскостью, соответствует одно значение z. В полярных координатах (см. фиг. 30) величина z записывается в виде (Двайт, 408.04)

Фиг. 30.

Длина вектора называется модулем z и обозначается через Угол называют аргументом, амплитудой, фазой или углом z. При возведении комплексного числа z в степень получается

т. е. модуль величины равен степени модуля z, а аргумент равен аргументу z, помноженному на Аналогично и для произведения двух комплексных чисел

т. е. модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме их аргументов. Заменив теперь в формуле на получаем, что модуль частного от деления двух комплексных чисел равен частному от деления их модулей, а аргумент равен разности их аргументов.

Пусть тогда величина называется комплексно-сопряженной z. Последнее соотношение, имеющее место для аналитических функций, можно доказать путем разложения функции в степенной ряд с действительными коэффициентами: всюду, где возводится в четную степень, соответствующий член

ряда будет действительным и одинаковым при любом знаке перед там же, где возводится в нечетную степень, соответствующий член ряда будет чисто мнимым, а знак перед остается прежним. Для имеем

Таким образом, для получения модуля функции комплексной переменной необходимо помножить эту функцию на комплексно-сопряженную ей и извлечь квадратный корень.