§ 30к. Функция Грина для цилиндрической полости.

Используя суперпозицию решений вида (5.361), можно при помощи метода изображений (§ 8 и § 116) получить потенциал, обращающийся в нуль не только на поверхности цилиндра но и на плоскостях Если координаты положительного заряда суть то положительные изображения следует поместить в точках а отрицательные — в точках где целое число, принимающее значения от до . В результирующем потенциале множитель, зависящий от z, при оказывается равным

Суммируя ряды (Двайт, 9.04), умножая числитель и знаменатель суммы на и приводя к общему знаменателю, получаем

Подстановка этой величины в выражение (5.361) дает при с выражение для потенциала

В случае в этом выражении следует заменить 2 на и с на Если заряд находится на оси цилиндрической полости, то сумма по исчезает и остается лишь член, соответствующий

Если потенциал должен обращаться в нуль не только на перечисленные выше поверхностях, но и на плоскостях (где ) и если (где n - целое число), то функцию Грина, согласно методу изображений (см. § 8), можно построить, как суперпозицию решений типа (5.365).