Весьма полная формальная аналогия между теорией Якоби и волновой теорией, обнаруженная Гамильтоном более 100 лет назад, приводит нас к синтезу, осуществляемому в волновой механике.

Начнем с того, что сравним движение частицы в отсутствие поля ( $V=0$ ) с распространением волны в однородной среде с показателем преломления $n$, не зависящим от $x,y,z$. Для частицы в отсутствие поля мы нашли [формула (11)]
$$S_1=\sqrt{2mE}(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-{\alpha }^2-{\beta }^2}z)=mv(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-{\alpha }^2-{\beta }^2}z).$$

В то же время для монохроматической волны в однородной среде с учетом постоянства длины волны $\lambda$ мы можем написать уравнение геометрической
1) По вопросам, связанным с геометрической оптикой, отсылаем читателя к работам автора [I, 27, 29]. — Ж. Л.

оптики в форме
$${\phi }_1=\frac{1}{\lambda }(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-{\alpha }^2-{\beta }^2}z).$$

Если направление движения частицы совпадает с направлением распространения волны, то полные функции $S$ и $\phi$ имеют вид
$$\begin{array}{l}S=Et-mv(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-{\alpha }^2-{\beta }^2}z),\\ \phi =ut-\frac{1}{\lambda }(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-{\alpha }^2-{\beta }^2}z).\end{array}$$

В квантовой теории принимается, что $E=hu$, т. е. с -движением частицы, энергия которой равна $E$, связывается распространение волны, характеризуемой частотой $u=E/h^{1)}$. Это дает нам основание положить
$\phi =\frac{S}{h}$.
Если мы примем такую гипотезу, то получим две формулы:
$E=hu,\lambda =\frac{h}{mv}$.
Иными словами, частице, движущейся прямолинейно и равномерно с энергией $E$ и импульсом $mv$, мы можем сопоставить распространяющуюся в том же направлении плоскую монохроматическую волну с частотой $E/h$ и длиной волны $h/mv$, т. е. волну вида
$\psi =a{e}^{\frac{2\pi i}{h}S}$ ( $a-$ постоянная),

где $S$ — величина, указанная выше.
Рассмотренное соответствие между волной и движущейся частицей обобщается на случай движения частицы в ностоянном поле, определяемом потенциальной энергией $V(x,y,z)$. В этом случае движению частицы сопоставляется распространение волны в неоднородной среде, показатель преломления $n$ которой, а следовательно и длина волны $\lambda$ меняются пи́и переходе от одной точки к другой.
В этом случае выражения для функции Якоби $S$ и фазы $\phi$ принимают вид
$$\begin{array}{l}S=Et-S_1(x,y,z),\\ \phi =ut-{\phi }_1(x,y,z),\end{array}$$
1) В то время, когда писалась данная книга, Луи де Бройль под сильным влиянием научного окружения отказался от последовательно релятивистского подхода, выдержанного в его диссертации, к которому он вернется позднее. В действительности только теория относительности, фиксирующая константу энергии, фиксирует величину $u$, чего он не указывает, хотя придавал этому значение фундаментальной важности. — Ж. Л.

где $S_1$ и ${\phi }_1$ — полные интегралы уравнений
$$\begin{array}{l}{\left(\frac{\partial S_1}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial S_1}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial S_1}{\partial z}\right)}^2=2m[E-V(x,y,z)],\\ {\left(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial z}\right)}^2=\frac{1}{{\lambda }^2(x,y,z)}.\end{array}$$

Здесь очень естественно принять в качестве гипотезы соотношение $\phi =S/h$ и, следовательно, положить $E=hu,S_1=h{\phi }_1$. Тогда из второго уравнения (29) следует, что
$$\lambda =\frac{1}{\left|\mathrm{grad}{\phi }_1\right|}=\frac{h}{\left|\mathrm{grad}{S}_1\right|}=\frac{h}{\sqrt{2m(E-V(x,y,z)]}},$$

и поскольку в каждой точке должно выполняться равенство $E=$ $=1/2m{v}^2+V(x,y,z)$, то по-прежнему выполняется соотношение
$$\lambda =\frac{h}{mv}\text{, }$$

но только здесь $v$ и $\lambda$ меняются при переходе от одной точки к другой.
Каким же должно быть уравнение распространения волны, соответствующее движению в не зависящем от времени поле? Перепишем уравнение (17) в виде
$$\mathrm{\Delta }\psi +\frac{4{\pi }^2}{{\lambda }^2(x,y,z)}\psi =0$$

и подставим в него выражение для $\lambda$; получим уравнение
$$\mathrm{\Delta }\psi +\frac{8{\pi }^{2}m}{h^2}[E-V(x,y,z)]\psi =0.$$

При $V=0$ оно переходит в уравнение, справедливое в отсутствие поля.
Всегда, когда ири описании распространения волны $\psi$ допустимо приближение геометрической оптики, мы можем положить
$$\psi =a\exp \left(\frac{2\pi i}{h}S\right)=a\exp \left\{\frac{2\pi i}{h}[Et-S_1(x,y,z)]\right\}.$$

Траектории, предсказываемые классической динамикой материальной точки, ортогональные к поверхностям $S_1=$ const, будут теперь не чем иным, как лучами волны $\psi$, ортогональными $\mathbf{к}$ поверхностям ${\phi }_1=$ const.

Таким путем мы приходим к одной из основных идей новой механики. Если в классической механике ее основные уравнения считались точными, справедливыми во всех случаях, то новая механика приписывает существенную роль волне $\psi$; теперь классическая механика рассматривается как приближение, справедливое лишь в том случае, когда при описании распространения волны $\psi$ допустимо приближение геометрической оптики.

Таким образом, классическая механика оказывается лишь неким приближением; она применима только в том случае, когда похазатель преломления $n$ для волны $\psi$ мало меняется на расстояниях порядка длины волны или, что то же самое, когда на таких расстояниях мало меняется потенциал. Если бы длина волны, характеризующая волновую функцию $\psi$, была бесконечно мала, то классическая динамика была бы точной теорией. Из формулы (27) для длины волны $\lambda$ мы видим, что это условие всегда будет выполняться (при нулевом значении $v$ ), если постоянная $h$ бесконечно мала; при $h-0$ мы всегда должны получать в пределе классическую механику.