Весьма полная формальная аналогия между теорией Якоби и волновой теорией, обнаруженная Гамильтоном более 100 лет назад, приводит нас к синтезу, осуществляемому в волновой механике.

Начнем с того, что сравним движение частицы в отсутствие поля ( \( V=0 \) ) с распространением волны в однородной среде с показателем преломления \( n \), не зависящим от \( x, y, z \). Для частицы в отсутствие поля мы нашли [формула (11)]
\[
S_{1}=\sqrt{2 m E}\left(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} z\right)=m v\left(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} z\right) .
\]

В то же время для монохроматической волны в однородной среде с учетом постоянства длины волны \( \lambda \) мы можем написать уравнение геометрической
1) По вопросам, связанным с геометрической оптикой, отсылаем читателя к работам автора [I, 27, 29]. – Ж. Л.

оптики в форме
\[
\varphi_{1}=\frac{1}{\lambda}\left(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} z\right) .
\]

Если направление движения частицы совпадает с направлением распространения волны, то полные функции \( S \) и \( \varphi \) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
S=E t-m v\left(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} z\right), \\
\varphi=
u t-\frac{1}{\lambda}\left(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} z\right) .
\end{array}
\]

В квантовой теории принимается, что \( E=h
u \), т. е. с -движением частицы, энергия которой равна \( E \), связывается распространение волны, характеризуемой частотой \(
u=E / h^{1)} \). Это дает нам основание положить
\( \varphi=\frac{S}{h} \).
Если мы примем такую гипотезу, то получим две формулы:
\( E=h
u, \quad \lambda=\frac{h}{m v} \).
Иными словами, частице, движущейся прямолинейно и равномерно с энергией \( E \) и импульсом \( m v \), мы можем сопоставить распространяющуюся в том же направлении плоскую монохроматическую волну с частотой \( E / h \) и длиной волны \( h / m v \), т. е. волну вида
\( \psi=a e^{\frac{2 \pi i}{h} S} \) ( \( a- \) постоянная),

где \( S \) – величина, указанная выше.
Рассмотренное соответствие между волной и движущейся частицей обобщается на случай движения частицы в ностоянном поле, определяемом потенциальной энергией \( V(x, y, z) \). В этом случае движению частицы сопоставляется распространение волны в неоднородной среде, показатель преломления \( n \) которой, а следовательно и длина волны \( \lambda \) меняются пи́и переходе от одной точки к другой.
В этом случае выражения для функции Якоби \( S \) и фазы \( \varphi \) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
S=E t-S_{1}(x, y, z), \\
\varphi=
u t-\varphi_{1}(x, y, z),
\end{array}
\]
1) В то время, когда писалась данная книга, Луи де Бройль под сильным влиянием научного окружения отказался от последовательно релятивистского подхода, выдержанного в его диссертации, к которому он вернется позднее. В действительности только теория относительности, фиксирующая константу энергии, фиксирует величину \(
u \), чего он не указывает, хотя придавал этому значение фундаментальной важности. – Ж. Л.

где \( S_{1} \) и \( \varphi_{1} \) – полные интегралы уравнений
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial z}\right)^{2}=2 m[E-V(x, y, z)], \\
\left(\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial z}\right)^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}(x, y, z)} .
\end{array}
\]

Здесь очень естественно принять в качестве гипотезы соотношение \( \varphi=S / h \) и, следовательно, положить \( E=h
u, S_{1}=h \varphi_{1} \). Тогда из второго уравнения (29) следует, что
\[
\lambda=\frac{1}{\left|\operatorname{grad} \varphi_{1}\right|}=\frac{h}{\left|\operatorname{grad} S_{1}\right|}=\frac{h}{\sqrt{2 m(E-V(x, y, z)]}},
\]

и поскольку в каждой точке должно выполняться равенство \( E= \) \( =1 / 2 m v^{2}+V(x, y, z) \), то по-прежнему выполняется соотношение
\[
\lambda=\frac{h}{m v} \text {, }
\]

но только здесь \( v \) и \( \lambda \) меняются при переходе от одной точки к другой.
Каким же должно быть уравнение распространения волны, соответствующее движению в не зависящем от времени поле? Перепишем уравнение (17) в виде
\[
\Delta \psi+\frac{4 \pi^{2}}{\lambda^{2}(x, y, z)} \psi=0
\]

и подставим в него выражение для \( \lambda \); получим уравнение
\[
\Delta \psi+\frac{8 \pi^{2} m}{h^{2}}[E-V(x, y, z)] \psi=0 .
\]

При \( V=0 \) оно переходит в уравнение, справедливое в отсутствие поля.
Всегда, когда ири описании распространения волны \( \psi \) допустимо приближение геометрической оптики, мы можем положить
\[
\psi=a \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} S\right)=a \exp \left\{\frac{2 \pi i}{h}\left[E t-S_{1}(x, y, z)\right]\right\} .
\]

Траектории, предсказываемые классической динамикой материальной точки, ортогональные к поверхностям \( S_{1}= \) const, будут теперь не чем иным, как лучами волны \( \psi \), ортогональными \( \mathbf{к} \) поверхностям \( \varphi_{1}= \) const.

Таким путем мы приходим к одной из основных идей новой механики. Если в классической механике ее основные уравнения считались точными, справедливыми во всех случаях, то новая механика приписывает существенную роль волне \( \psi \); теперь классическая механика рассматривается как приближение, справедливое лишь в том случае, когда при описании распространения волны \( \psi \) допустимо приближение геометрической оптики.

Таким образом, классическая механика оказывается лишь неким приближением; она применима только в том случае, когда похазатель преломления \( n \) для волны \( \psi \) мало меняется на расстояниях порядка длины волны или, что то же самое, когда на таких расстояниях мало меняется потенциал. Если бы длина волны, характеризующая волновую функцию \( \psi \), была бесконечно мала, то классическая динамика была бы точной теорией. Из формулы (27) для длины волны \( \lambda \) мы видим, что это условие всегда будет выполняться (при нулевом значении \( v \) ), если постоянная \( h \) бесконечно мала; при \( h-0 \) мы всегда должны получать в пределе классическую механику.