Выше мы рассматривали частицу, находящуюся в известном силовом поле. Возникает вопрос: каким образом все изложенное обобщить на случай системы частиц, взаимодействующих между собой? Чтобы ответить на него, необходимо сначала вспомнить некоторые положения классической динамики для систем материальных точек.

Рассмотрим систему, состояшую из \( N \) частиц. Пусть \( i \)-я частица характеризуется массой \( m_{i} \) и координатами \( x_{i}, y_{i}, z_{i} \). Тогда кинетическая энергия системы дается выражением
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\left[\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right] .
\]

Импульсы, соответствующие трем координатам, таковы:
\[
p_{x_{i}}=m_{i} \frac{d x_{i}}{d t}, \quad p_{y_{i}}=m_{i} \frac{d y_{i}}{d t}, \quad p_{z_{i}}=m_{i} \frac{d z_{i}}{d t} .
\]

Потенциальная энергия системы \( V\left(x_{1}, \ldots, z_{N}, t\right) \) состоит из членов двоякого рода: 1) членов, характеризующих взаимодействие между частицами и по предположению зависящих лишь от расстояний между ними; они имеют вид \( V_{i j}\left(\sqrt{\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}+\left(z_{i}-z_{j}\right)^{2}}\right) \); 2) членов, характеризующих возможное действие внешнего поля на каждую из частиц; они имеют вид \( V_{i}\left(x_{i} y_{i}, z_{i}\right. \), \( t \) ). Формула Гамильтона дает энергию как функцию координат и импульсов:
\[
H\left(x_{1}, \ldots, z_{N} t\right)=\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2 m_{i}}\left(p_{x_{i}}^{2}+p_{y_{i}}^{2}+p_{z_{i}}^{2}\right)+V\left(x_{1}, \ldots, z_{N}, t\right) .
\]

Если внешнее поле не зависит от времени или вивсе отсутствует, то \( V \) не зависит от \( t \), и, как известно, для консервативных систем величина \( H \) при движении сохраняет постоянное значение \( E \).

Теория Якоби может быть обобщена на случай систем частиц. В этом случае уравнение Якоби имеет вид
\[
\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2 m_{i}}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial x_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial y_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial z_{i}}\right)\right]^{2}+V\left(x_{1}, \ldots, z_{N}, t\right)=\frac{\partial S}{\partial t}
\]

Если удастся найти полный интеграл этого уравнения, содержащий \( 3 \mathrm{~N} \) произвольных неаддитивных постоянных \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots, \alpha_{3 N} \), то возможное движение получим, написав
\[
\frac{\partial S\left(x_{1}, \ldots, z_{N}, t, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{3 N}\right)}{\partial \alpha_{i}}=a_{i}, \quad i=1,2, \ldots, 3 N,
\]

где \( a_{i} \) – это \( 3 N \) новых произвольных постоянных, причем импульсы Лагранжа даются формулами
\[
p_{x_{i}}=-\frac{\partial S}{\partial x_{i}}, \quad p_{y_{i}}=-\frac{\partial S}{\partial y_{i}}, \quad p_{z_{i}}=-\frac{\partial S}{\partial z_{i}} \quad i=1,2, \ldots, N
\]

В частном случае, когда внешние взаимодействия не зависят от времени (или отсутствуют), энергия \( V \) не зависит от \( t \) и решение можно найти в форме \( S=E t-S_{1}\left(x_{1}, \ldots, z_{N}\right) \). В результате мы приходим к «укороченному» уравнению Якоби
\( \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2 m_{i}}\left[\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial y_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial z_{i}}\right)^{2}+V\left(x_{1}, \ldots, z_{N}\right)=E\right. \)

для которого нам нужно найти полный интеграл, содержащий \( 3 N \) произвольных неаддитивных постоянных \( E, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{3 N-1} \). Уравнения движения принимают вид
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial \alpha_{i}}=a_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N-1),
\]
т. е. это уравнение траектории точки в конфигурационном пространстве \( x_{1}, \ldots, z_{N} \) и уравнение зависимости от времени
\[
\partial S_{1}=t-t_{0} \text {, }
\]
причем
\[
p_{x_{i}}=\frac{\partial S_{1}}{\partial x_{i}}, \quad \overline{y_{i}}=\frac{\partial S_{1}}{\partial y_{i}}, \quad p_{z_{i}}=\frac{\partial S_{1}}{\partial z_{i}} .
\]

Как и в случае одной материальной точки, уравнение Якоби позволяет говорить о «классах» движений точки, представляющей систему в конфигурационном пространстве. Каждый класс соответствует определенной функции \( S_{1}\left(x_{1}, \ldots, z_{N}, E, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{3 N-1}\right) \) с заданными значениями постоянных \( E_{1}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{3 N-1} \), причем различные движения внутри одного класса различаются числовыми значениями постоянных \( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 N-1} \) и \( t_{0} \).