В предыдущих рассуждениях подразумевалось, что справедлив принцип, который мы теперь сформулируем в явном виде. Этот принцип, который пришлось добавить при дальнейшем развитии волновой механики, был впервые сформулирован Борном и может быть выражен следующим образом: если волна \( \psi \) представляет собой суперпозицию какого-то числа плоских монохроматических волн, то каждая из составляющих соответствует одному из возможных состояний частицы, так что путем наблюдения или измерения можно обнаружить частицу в этом состоянии. Более точная формулировка,
принадлежащая Борну, такова: если волна \( \psi \) представляет собой суперпозицию плоских монохроматических волн, соответствующих дискретному спектру, т. е.
\[
\psi=\sum_{\alpha, \beta, E} a(\alpha, \beta, E) \exp \left\{\frac { 2 \pi i } { h } \left[E t-\sqrt{2 m E}\left(\alpha x+\beta y+\sqrt{\left.1-\alpha^{2}-\beta^{2} z\right)}\right],\right.\right.
\]
то вероятность обнаружить при измерении частицу, движущуюся с энергией \( E \) в направлении с направляющими косинусами \( \alpha, \beta, \sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} \), равна \( a(\alpha, \beta, E) a^{*}(\alpha, \beta, E)=|a(\alpha, \beta, E)|^{2} \).
Если же волна \( \psi \) представляет собой суперпозицию плоских волн, соответствующих непрерывному спектру (как это и бывает в случае обычных волновых пакетов), т. е.
\[
\begin{aligned}
\psi=\iiint a(\alpha, \beta, E) \exp \left\{\frac{2 \pi i}{h}[E t-\right. & \sqrt{2 m E}(\alpha x+\beta y+ \\
& \left.+\sqrt{\left.\left.1-\alpha^{2}-\beta^{2} z\right)\right]}\right\} d \alpha d \beta d E,
\end{aligned}
\]
то вероятность обнаружить при измерении частицу, движущуюся с энергией в пределах от \( E \) до \( E+\Delta E \) в направлении, соответствующем интервалам \( (\alpha, \alpha+\Delta \alpha) \) и \( (\beta, \beta+\Delta \beta) \), равна
\[
\iint_{\Delta \alpha, \Delta \beta, \Delta E}|a(\alpha, \beta, E)|^{2} d \alpha d \beta d E .
\]
Таким образом, можно сказать, что вероятность каждого из состояний пропорциональна интенсивности и соответствующей спектральной составляющей. Что же касается состояний, не входящих в разложение Фурье волновой функции, то их вероятность, стало быть, равна нулю. Именно с этим, как мы увидим, связано квантование состояний в волновой механике.
Принцип спектрального разложения мы сформулировали лишь в простом случае отсутствия внешнего поля. Вскоре мы познакомимся с более общим принципом, применимым во всех случаях, а именно с обобщенным принципом спектрального разложения, из которого в частных случаях получаются принцип Борна и даже принцип интерференции.
