Сначала еще раз вернемся к вопросу об интерференции вероятностей. Пусть имеется очень большое число систем, находящихся в одном и том же состоянии \( \psi \), и пусть \( A \) — физическая величина, измеряемая на опыте, которой соответствуют собственные значения \( \alpha_{k} \) и собственные функции \( \varphi_{k} \). Если \( \psi=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k} \), то при измерении величины \( A \) для \( \left|c_{1}\right|^{2} \mathscr{V} \) систем мы получим значение \( \alpha_{1} \), для \( \left|c_{2}\right|^{2} \mathscr{N} \) систем — значение \( \alpha_{2}, \ldots \). Среднее значение величины \( A \) будет равно \( \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} \alpha_{k} \).

Предположим теперь, что, вместо того чтобы иметь \( \mathscr{N} \) систем в одном и том же состоянии, мы имеем \( \left|c_{1}\right|^{2} \mathscr{N} \) систем в состоянии \( \varphi_{1},\left|c_{2}\right|^{2} \mathscr{N} \) систем в состоянии \( \varphi_{2}, \ldots \). Тогда измерение величины \( A \) паст нам те же самые результаты и то же самое среднее значение, что и в первом случае. Поэтому можно подумать, что эти два случая эквивалентны.

Но это неверно. В самом деле, рассмотрим наблюдаемую величину \( B \), не коммутирующую с \( A \). Собственные функции оператора \( B \) не совпадают с собственными функциями оператора \( A \), и, если \( \beta_{k} \) и \( \chi_{k} \) — собственные значения и собственные функции оператора \( B \), мы имеем \( \varphi_{k}=\sum_{l} d_{k l} \chi_{l} \), причем, вообще говоря, сумма содержит несколько слагаемых.

Рассмотрим случай, когда все \( \mathscr{N} \) систем находятся в одном и том же состоянии
\[
\psi=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k}=\sum_{k, l} c_{k} d_{k l} \chi_{l}
\]
1) См. [40, 41]. Напомним также еще раз о работе Луи де Бройля [II, 27] по теории измерений, где изложена теория фон Неймана и проведен ее детальный критический анализ, чего здесь нет, поскольку здесь дается пока еше ортодоксальное изложение. Тем не менее мы увидим, как пояляется критика в примечаниях, добавленных позже, и даже в первоначальном тексте уже вырисовывается личная интерпретация автора, предвещающая его будущую теорию. Мы укажем на это в соответствующих местах. — Ж. Л.

Тогда измерение величины \( B \) для всех этих систем даст
\( \mathcal{A}^{\prime}\left|\sum_{k} c_{k} d_{k l}\right|^{2} \) раз
значение \( \beta_{l} \), а среднее значение величины \( B \) будет равно \( \left.\sum_{l} \sum_{k} c_{k} d_{k l}\right|^{2} \beta^{e} \), что можно также переписать в виде \( \sum_{k, l} c_{k} c_{l} B_{k l} \), поскольку эта величина равна
\[
\int \psi^{*} B \psi d \tau=\sum_{k, l} c_{k} c_{l} \int \varphi_{k} B \varphi_{l} d \tau .
\]

Теперь рассмотрим другой случай, когда имеется,\( /\left|c_{1}\right|^{2} \) систем в состоянии \( \varphi_{1}, \ldots \) Измерение величины \( B \) для \( /\left|c_{1}\right|^{2} \) первых систем даст для \( \left|d_{1}\right|^{2} \) из них значение \( \beta_{l} \). В итоге значение \( \beta_{l} \) величины \( B \) мы получили \( A \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2}\left|d_{k l}\right|^{2} \) раз, и, следовательно, среднее значение величины \( B \) будет равно \( \sum_{k, l}\left|c_{k}\right|^{2}\left|d_{k l}\right|^{2} \beta_{l} \) T. е. \( \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} B\left({ }_{k}\left(\right.\right. \), т.e. \( \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} \int \varphi_{k} B \varphi_{k} d \tau \).

Таким образом, мы видим, что, какова бы ни была величина \( B \), не коммутирующая с \( A \), два рассмотренных случая совершенно не идентичны, В первом случае мы имеем интерференцию вероятностей, во втором случае она отсутствует, поэтому нельзя считать, что.\( N \) систем в состоянии \( \psi \) составляют то, что в теории вероятностей называется статистическим ансамблем, содержащим \( \mathcal{F}\left|c_{1}\right|^{2} \) систем, для которых величина \( A \) имеет собственное значение \( \alpha_{1} \), и т. д. Это видно, впрочем, и из того, что можно было бы также рассматривать.\( N \) систем как ансамбль, \( : N\left|d_{1}\right|^{2} \) систем которого имеют собственные значения \( \beta_{1} \) для величины \( B \), и т. д., причем \( d_{1}=\sum_{k} c_{k} d_{k 1} \), и этот второй ансамбль не совпадал бы с первым. Позтому невозможно свести совокупность, \( \mathscr{\gamma} \) систем, находящихся в состоянии \( \psi \), к определенному статистическому ансамблю, поскольку ансамбль будет меняться в зависимости от того, какая рассматривается величина \( A \). Состояние \( \psi \) представляет собой то, что фон Нейман называет «чистым состоянием», которое не разлагается, как «смешанное состояние», поскольку не является статистическим ансамблем в обычном смысле теории вероятностеи.

В противоположность этому можно рассматривать \( \mathscr{N}_{1} \) систем, описываемых волновой функцией \( \psi^{(1)}, /_{2} \) систем, описываемых волновой функцией \( \psi^{(2)} \), и т. д. Совокупность таких систем представляет собой смешанное состояние из. \( /_{1} \) чистых состояний с волновой функцией \( \psi^{(1)}, N_{2} \) чистых состояний с волновой функцией \( \psi^{(2)}, \ldots \) Мы получим наш второй случай, положив \( \mathscr{N}_{1}= \) \( =r\left|c_{1}\right|^{2} \ldots \).

Пусть. \( N_{i} / . \mathscr{N}=p_{i} \). Наше смешанное состояние будет определяться совокупностью значений \( p_{i} \), причем будет выполняться равенство \( \sum_{i} p_{i}=1 \). Величины \( p_{i} \) можно, если угодно, называть статистическими весами различных чистых состояний \( \psi^{(i)} \).

Если мы в рассмотренном выше прнмере положим \( c_{k}=\sqrt{p_{k}} \exp \left(i \alpha_{k}\right) \), то увидим, что определенные таким образом величины \( p_{k}=\left|c_{k}\right|^{2} \) являются статистическими весами смешанного состояния, которое в отношении измерения величины \( A \) эквивалентно чистому состоянию \( \psi \). Но смешанное состояние, эквивалентное чистому состоянию \( \psi \) в отношении измерения величины \( B \), не коммутирующей с \( A \), будет характеризоваться статистическими весами, отличными от указанных выше, и именно поэтому чистое состояние невозможно представить в виде смешанного.

Ках явствует из рассмотренного выше примера, среднее значение величины В в чистом состоянии \( \psi=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k} \) равно \( \sum_{k, l} c_{k}^{*} c_{l} B \varphi_{k l} \), где \( B \varphi_{k l}=\int \varphi_{k}^{*} B \varphi_{l} d \tau \). Если же заменить это чистое состояние статистическим ансамблем, относящимся к измерению величины \( A \), то для среднего значения величины \( B \) мы получим выражение \( \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} B_{k k} \). Легко видеть, чем эти два средних значения отличаются друг от друга. Поскольку \( c_{k}=\left|c_{k}\right| e^{i \alpha_{k}} \), где \( \alpha_{k}- \) фаза величины \( c_{k} \), первое выражение равно
\[
\sum_{k, J}\left|c_{k}\right|\left|c_{l}\right| e^{i\left(\alpha_{l}-\alpha_{k}\right)} B_{k l} .
\]

Если предположить, что фазы \( \alpha_{k} \) неизвестны, то математическое ожидание этого выражения мы получим, усреднив его по фазам \( \alpha_{k} \), которые предполагается равновероятными. Оно оказывается равным \( \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} B_{k k} \), т. е. выражению для среднего значения во втором случае. Другими словами, мы переходим от первого случая (чистое состояние \( \psi \) ) ко второму случаю (статистический ансамбль, соответствующий измерению \( A \) ), полагая, что полностью потеряна информация о фазах \( \alpha_{k} \). Данное обстоятельство легко интерпретировать на основе общих представлений волновой механики. В самом деле, первый случай соответствует прямому измерению величины \( \boldsymbol{B} \) в чистом состоянии \( \psi \), а второй — измерению величины \( B \), проводимому после измерения величины \( A \), так что измерение \( A \) преобразует чистое состояние \( \psi \) в смешанное со статистическими весами \( \left|c_{k}\right|^{2} \). Но мы видели, что измерение величины \( A \) полностью стирает информацию о разностях фаз между составляющими \( \varphi_{k} \) начальной функции \( \psi \) (т. е. о разностях фаз \( \alpha_{k}-\alpha_{l} \) ). Это вполне согласуется с результатом, полученным выше.

Итак, мы получили четкое представление о различии между чистым состоянием, характеризуемым функцией \( \psi \), и смешанным состоянием с волновыми функциями \( \psi^{(1)}, \psi^{(2)}, \ldots \) и с соответствующими статистическими весами \( p_{1} \), \( p_{2}, \ldots \) Мы видели также, что в общем случае измерение какой-либо величины для физической системы, находящейся в чистом состоянии, преобразует это чистое состояние в смешанное. В то время как понятие смешанного состояния, соответствуюшее понятию статистического ансамбля, есть классическое понятие теории вероятностей, чистое состояние как совершенно новый \»сплав» бесконечного множества статистических ансамблей есть новое понятие, не известное в классической теории вероятностей.

Добавим еще одно замечание относительно термина «чистое состояние». Иногда говорят, что состояние, характеризуемое волновой функцией \( \psi \), является чистым в отношении величины \( A \), когда эта функция является собственной функцией оператора \( A\left(\psi=d_{i} \varphi_{i}\right. \), причем \( \left|d_{i}\right|=1 \) ); в этом случае физическая величина \( A \) имеет совершенно определенное значение \( \alpha_{i} \). Но мы ранее назвали чистым состояние, в котором вероятности определяются одной функцией \( \psi \), а не несколькими с разными статистическими весами. Эти два определения чистого состояния могут показаться неидентичными, но на самом деле одно из них можно свести к другому. Так, если волновая функция системы равна \( \psi \), то всегда существует линейный эрмитов оператор \( A^{1)} \), для которого \( \psi \) — собственная функция; такому оператору соответствует некая физическая наблюдаемая, имеющая в рассматриваемом состоянии \( \psi \) совершенно определенное значение \( { }^{2} \). Это станет ясно, если \( \psi \) рассматривать как вектор в гильбертовом пространстве и учесть, что этот вектор всегда можно выбрать в качестве одного из векторов некой системы (и даже бесконечного множества систем) ортонормированных базисных векторов. Стало быть, всякое состояние, характеризуемое какой-то функцией \( \psi \), можно рассматривать как чистое для некоторой соответствующим образом выбранной величины \( A \), и это позволяет согласовать два указанных значения термина «чистое состояние».