Наиболее известный пример двух величин, которые не могут быть измерены одновременно, – координата \( q \) и сопряженный ей импульс \( p \). Обозначив через \( Q \) и \( P \) соответствующие операторы, можем написать
\[
Q=q \times, P=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q}, Q P-P Q=\frac{h}{2 \pi i},
\]

поскольку
\[
q\left(-\frac{h}{2 \pi i}\right) \frac{\partial f(q)}{\partial q}-\left(-\frac{h}{2 \pi i}\right) \frac{\partial}{\partial q}[q f(q)]=\frac{h}{2 \pi i} f(q) .
\]

Следовательно, величины \( q \) и \( p \) невозможно измерить одновременно. Если имеется несколько величин \( q \), например \( q_{1}, \ldots, q_{i}, \ldots \), то, разумеется, \( Q_{k} P_{i}=P_{i} Q_{k} \), и поскольку
\( Q_{i} Q_{k}=Q_{k} Q_{i}, \quad P_{i} P_{k}=P_{k} P_{i} \),
две координаты или две компоненты импульса так же, как и координата и несопряженная ей компонента импульса, всегда могут быть измерены одновременно. Невозможно лишь одновременно измерить координату и соответствующую ей компоненту импульса.

В случае частицы, характеризуемой тремя координатами \( x, y, z \), которым сопряжены три составляющие импульса \( p_{x}, p_{y}, p_{z} \), мы снова приходим к невозможности одновременно знать сопряженные величины \( x \) и \( p_{x} \) и т.д., которые ранее мы могли вычислить, исходя из представления волн \( \downarrow \) в виде интегралов Фурье. Из соотношения
\[
Q P-P Q=\frac{h}{2 \pi i}
\]

следуют соотношения неопределенностей Гейзенберга, к которым мы еше вернемся в дальнейшем. Вообще если в какой-либо механической задаче \( p \) и \( q \) – канонически сопряженные переменные, то всегда
\[
Q P-P Q=\frac{h}{2 \pi i} .
\]

Так, угол поворота вокруг оси \( O z \) канонически сопряжен составляющей \( M_{z} \) углового момента. Поскольку величине \( M_{z} \) соответствует оператор \( -(h / 2 \pi i)\left(\partial / \partial \varphi_{z}\right) \), мы имеем операторное соотношение
\[
\varphi M_{z}-M_{z} \varphi=\frac{h}{2 \pi i} .
\]

В только что рассмотренном случае два некоммутирующих оператора таковы, что для них \( [A, B]=c \), где \( c \) – постоянная, равная \( h / 2 \pi i \). Канонически сопряженные величины относятся к общей категории одновременно неизмеряемых величин, коммутатор которых равен постоянной. Но имеется также другая категория одновременно неизмеряемых величин, коммутатор которых равен отличному от нуля оператору.
К такому случаю относятся, например, величины \( M_{x} \) и \( M_{y} \), поскольку
\[
\left[M_{x}, M_{y}\right]=\frac{h}{2 \pi i} M_{z} \text {. }
\]

Существенное различие между некоммутирующими операторами данного и рассмотренного ранее вида вытекает из теоремы, сформулированной на c. 96. Дело в том, что два некоммутируюших оператора \( A \) и \( B \) не могут иметь общей собственной функции, если их коммутатор равен постоянной \( c \), поскольку у оператора \( c \cdot 1 \) нет нулевых собственных значений. Физические величины, соответствующие двум таким операторам, никогда не могут быть измерены одновременно.

Если же коммутатор двух некоммутирующих величин равен оператору, то \( A \) и \( B \) могут обладать общими собственными функциями, если только у оператора \( [A, B] \) имеются нулевые собственные значения. Тогда величины \( A \) и \( B \) могут оказаться одновременно измеримыми, и такое измерение даст для них значения, равные собственным значениям одной из общих собственных функций. Например, поскольку в случае наблюдаемых \( M_{x} \) и \( M_{y} \) их коммутатор \( \left[M_{x}, M_{y}\right]-M_{z} \) имеет собственное значение 0 , соответствующее собственной функции \( \varphi_{0}= \) const \( =1 / \sqrt{2 \pi} \), в виде исключения возможно одновременное измерение величин \( M_{x} \) и \( M_{y} \), которое даст для них значения \( M_{x}=0 \) и \( M_{y}=0 \), соответствующие тоже собственной функции \( \varphi_{0}=1 / \sqrt{2 \pi} \). В общем же случае одновременное измерение величин \( M_{x} \) и \( M_{y} \) невозможно \( { }^{1)} \).
1) В действительности в цилиндрической системе координат \( O z \) собственная функция оператора \( M_{z} \), соответствующая собственному значению 0 , имеет вид \( f(\rho+z) \) и аналогичные выражения справедливы для собственных функций операторов \( M_{x} \) и \( M_{z} \). Поэтому собственной функцией, общей для операторов \( M_{x}, M_{y}, M_{z} \) и соответствующей собственному значению 0 , является функция \( F(r)=F\left(\rho^{2}+z^{2}\right) \); она характеризует сферически-симметричное состояние. – Л. Б.

Когда мы дойдем до теоремы о дисперсии двух величин с некоммутирующими операторами, мы снова увидим необходимость различать некоммутирующие величины с коммутатором, равным постоянной, и с коммутатором, равным некоему оператору.

Замечание. Если \( [A, B]=c \cdot 1 \), то постоянная \( c \) всегда пропорциональна постоянной \( h \), поскольку при \( h \rightarrow 0 \) операторы \( A \) и \( B \) должны коммутировать, ибо данный предельный переход есть переход к классической механике. Примером и здесь может служить случай канонически сопряженных величин.