Наиболее известный пример двух величин, которые не могут быть измерены одновременно, — координата $q$ и сопряженный ей импульс $p$. Обозначив через $Q$ и $P$ соответствующие операторы, можем написать
$$Q=q\times ,P=-\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial }{\partial q},QP-PQ=\frac{h}{2\pi i},$$

поскольку
$$q(-\frac{h}{2\pi i})\frac{\partial f(q)}{\partial q}-(-\frac{h}{2\pi i})\frac{\partial }{\partial q}[qf(q)]=\frac{h}{2\pi i}f(q).$$

Следовательно, величины $q$ и $p$ невозможно измерить одновременно. Если имеется несколько величин $q$, например $q_1,\dots ,q_i,\dots$, то, разумеется, $Q_k{P}_i=P_i{Q}_k$, и поскольку
$Q_i{Q}_k=Q_k{Q}_i,P_i{P}_k=P_k{P}_i$,
две координаты или две компоненты импульса так же, как и координата и несопряженная ей компонента импульса, всегда могут быть измерены одновременно. Невозможно лишь одновременно измерить координату и соответствующую ей компоненту импульса.

В случае частицы, характеризуемой тремя координатами $x,y,z$, которым сопряжены три составляющие импульса $p_x,p_y,p_z$, мы снова приходим к невозможности одновременно знать сопряженные величины $x$ и $p_x$ и т.д., которые ранее мы могли вычислить, исходя из представления волн $\downarrow$ в виде интегралов Фурье. Из соотношения
$$QP-PQ=\frac{h}{2\pi i}$$

следуют соотношения неопределенностей Гейзенберга, к которым мы еше вернемся в дальнейшем. Вообще если в какой-либо механической задаче $p$ и $q$ — канонически сопряженные переменные, то всегда
$$QP-PQ=\frac{h}{2\pi i}.$$

Так, угол поворота вокруг оси $Oz$ канонически сопряжен составляющей $M_z$ углового момента. Поскольку величине $M_z$ соответствует оператор $-(h/2\pi i)\left(\partial /\partial {\phi }_z\right)$, мы имеем операторное соотношение
$$\phi M_z-M_z\phi =\frac{h}{2\pi i}.$$

В только что рассмотренном случае два некоммутирующих оператора таковы, что для них $[A,B]=c$, где $c$ — постоянная, равная $h/2\pi i$. Канонически сопряженные величины относятся к общей категории одновременно неизмеряемых величин, коммутатор которых равен постоянной. Но имеется также другая категория одновременно неизмеряемых величин, коммутатор которых равен отличному от нуля оператору.
К такому случаю относятся, например, величины $M_x$ и $M_y$, поскольку
$$[M_x,M_y]=\frac{h}{2\pi i}{M}_z\text{. }$$

Существенное различие между некоммутирующими операторами данного и рассмотренного ранее вида вытекает из теоремы, сформулированной на c. 96. Дело в том, что два некоммутируюших оператора $A$ и $B$ не могут иметь общей собственной функции, если их коммутатор равен постоянной $c$, поскольку у оператора $c\cdot 1$ нет нулевых собственных значений. Физические величины, соответствующие двум таким операторам, никогда не могут быть измерены одновременно.

Если же коммутатор двух некоммутирующих величин равен оператору, то $A$ и $B$ могут обладать общими собственными функциями, если только у оператора $[A,B]$ имеются нулевые собственные значения. Тогда величины $A$ и $B$ могут оказаться одновременно измеримыми, и такое измерение даст для них значения, равные собственным значениям одной из общих собственных функций. Например, поскольку в случае наблюдаемых $M_x$ и $M_y$ их коммутатор $[M_x,M_y]-M_z$ имеет собственное значение 0 , соответствующее собственной функции ${\phi }_0=$ const $=1/\sqrt{2\pi }$, в виде исключения возможно одновременное измерение величин $M_x$ и $M_y$, которое даст для них значения $M_x=0$ и $M_y=0$, соответствующие тоже собственной функции ${\phi }_0=1/\sqrt{2\pi }$. В общем же случае одновременное измерение величин $M_x$ и $M_y$ невозможно ${}^{1)}$.
1) В действительности в цилиндрической системе координат $Oz$ собственная функция оператора $M_z$, соответствующая собственному значению 0 , имеет вид $f(\rho +z)$ и аналогичные выражения справедливы для собственных функций операторов $M_x$ и $M_z$. Поэтому собственной функцией, общей для операторов $M_x,M_y,M_z$ и соответствующей собственному значению 0 , является функция $F(r)=F({\rho }^2+z^2)$; она характеризует сферически-симметричное состояние. — Л. Б.

Когда мы дойдем до теоремы о дисперсии двух величин с некоммутирующими операторами, мы снова увидим необходимость различать некоммутирующие величины с коммутатором, равным постоянной, и с коммутатором, равным некоему оператору.

Замечание. Если $[A,B]=c\cdot 1$, то постоянная $c$ всегда пропорциональна постоянной $h$, поскольку при $h\to 0$ операторы $A$ и $B$ должны коммутировать, ибо данный предельный переход есть переход к классической механике. Примером и здесь может служить случай канонически сопряженных величин.