ТЕОРИЯ ЯКОБИ
Прежде всего мы кратко сформулируем общие принципы волновой механики для случая одной частицы, на которую действует силовое поле, определяемое по известной потенциальной энергии \( V(x, y, z, t) \). Начнем с того, что напомним некоторые основные положения классической динамики материальной точки.

Согласно классическим представлениям, частица в каждый момент занимает вполне определенное положение в пространстве. С течением времени она под влиянием силового поля описывает некоторую криволинейную траекторию. Следовательно, в каждый момент времени частице можно приписать три декартовы координаты \( x,{ }^{*} y, z \), характеризующие ее положение. Классические уравнения движения таковы:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{\partial V}{\partial x},
\]

где \( m \) – постоянный множитель, называемый массой частицы. Этими тремя дифференциальными уравнениями второго порядка полностью определяется. изменение координат частицы со временем, т. е. ее движение, при условии, что заданы 6 произвольных постоянных – координаты и составляющие скорости в заданный (начальный) момент времени. Детерминизм классической механики состоит в том, что если заданы начальное положение и начальная скорость, то этим полностью определяются последующие состояния 1 ).

По поводу общих теорем о движении материальной точки и об уравнениях Лагранжа и Гамильтона отсылаем читателя к курсам классической механики \( { }^{2} \). Здесь мы ограничимся формулировкой основной теоремы Якоби, которая нам пригодится в последующем.
1) Всюду далее в примечаниях Луи де Бройля в конце пишется Л. Б. После примечаний Жоржа Лошака ставятся буквы Ж. Л. – Прим. ред.
\( { }^{2)} \) Среди многочисленных курсов укажем \( [9,10] \). Отметим, что Луи де Бройль формулирует теорему Якоби в пространстве \( R^{3} \) не из соображений простоты, а потому, что оптико-механическая аналогия, согласно его представлениям, имеет физический смысл только в трехмерном физическом пространстве, вне которого эта аналогия носит формальный характер. – Ж. Л.

Теорема. Если удастся найти полный интеграл (т. е. решение, содержащее 3 произвольные неаддитивные постоянные) \( S(x, y, z, t, \alpha, \beta, \gamma) \) для уравнения в частных производных (уравнения Якоби):
\[
\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2}\right]+V(x, y, z, t)=\frac{\partial S}{\partial t},
\]

то уравнениями
\[
\frac{\partial S}{\partial \alpha}=a, \frac{\partial S}{\partial \beta}=b, \frac{\partial S}{\partial \gamma}=c,
\]

где \( a, b, c \) – три новые произвольные постоянные, определяется одно из возможных движений в силовом поле; что же касается составляющих импульса частицы, которая в момент времени \( t \) занимает положение, характеризуемое координатами \( x, y, z \), то компоненты импульса даются выражениями
\[
p_{x}=m v_{x}=-\frac{\partial S}{\partial x}, \quad p_{y}=m v_{y}=-\frac{\partial S}{\partial y}, \quad p_{z}=m v_{z}=-\frac{\partial S}{\partial z} .
\]

Мы видим, что, согласно теореме Якоби, возможные движения частицы делятся на классы. Движения одного класса соответствуют полному интегралу \( S(x, y, z, t, \alpha, \beta, \gamma) \) с заданными значениями постоянных \( \alpha, \beta, \gamma \). В каждом таком классе существует бесконечное множество возможных движений, характеризуемых значениями вторичных постоянных \( a, b, c \).

Напомним также, что уравнение Якоби можно вывести, исходя из выражения для энергии, представленной в виде функции координат и импульсов:
\[
H\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z}, t\right)=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+V(x, y, z, t),
\]

если заменить в нем \( p_{x}, p_{y} \) и \( p_{z} \) величинами \( -\partial S / \partial x,-\partial S / \partial y \) и \( -\partial S / \partial z \) и приравнять полученное выражение производной \( \partial S / \partial t \).

Теорема Якоби принимает вид, который нам будет особенно полезен в случае, когда потенциальная энергия \( V \) не зависит от времени. Известно, что в этом случае справедлив закон сохранения энергии, т. е.’ в процессе движения сумма кинетической и потенциальной энергии \( 1 / 2 m v^{2}+V \) сохраняет постоянное значение \( E \). Постоянная \( E \) играет роль одной из первичных постоянных движения, например постоянной \( \gamma \). Положим
\[
S(x, y, z, t, \alpha, \beta, E)=E t-S_{1}(x, y, z, \alpha, \beta, E),
\]

где \( S_{1} \) уже не зависит от времени, и найдем полный интеграл, зависящий от постоянной \( E \) и от двух произвольных постоянных \( \alpha \) и \( \beta \), для уравнения в частных производных (укороченного уравнения Якоби):
\[
\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial z}\right)^{2}\right]+V(x, y, z)=E .
\]

Теорема Якоби, примененная к этому частному случаю, показывает, что если найден такой полный интеграл, то движение, определяемое уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial S_{1}}{\partial \alpha}=a, \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta}=b, \\
\frac{\partial S}{\partial E}=t-\frac{\partial S_{1}}{\partial E}=\dot{c},
\end{array}
\]

где \( a, b, c \) – три произвольные постоянные, есть одно из возможных движений частицы в постоянном силовом поле и составляющие вектора импульса частицы после прихода в точку с координатами \( x, y, z \) таковы:
\[
p_{x}=m v_{x}=\frac{\partial S_{1}}{\partial x}, \quad p_{y}=m v_{y}=\frac{\partial S_{1}}{\partial y}, \quad p_{z}=m v_{z}=\frac{\partial S_{1}}{\partial z} .
\]

Возможные движения подразделяются на классы с разными значениями энергии и двух первичных постоянных \( \alpha \) и \( \beta \), причем каждый класс содержит бесконечно много движений, различающихся значениями трех вторичных постоянных \( a, b, c \).

Двумя первыми уравнениями (8), не содержащими времени, определяется кривая в пространстве – траектория частицы. Третьим уравнением, которое можно написать в виде \( \partial S_{1} / \partial E=t-t_{0} \), описывается движение по траектории. Таким образом, можно видеть, что в случае постоянных полей траекторию можно исследовать независимо от исследования движения; в общем случае полей, зависящих от времени, это невозможно.

В случае постоянных полей справедлива еще одна важная теорема: Траектории одного класса, соответствующие одному и тому же полному интегралу \( S_{1}(x, y, z, \alpha, \beta, E) \), ортогональны поверхностям \( S_{1}= \) const. Это – прямое следствие уравнения \( \mathbf{p}=\operatorname{grad} S_{1} \), означающего, что скорость в любой точке пропорциональна градиенту действия \( S_{1} \).

Исходя из ортогональности траекторий поверхностям \( S_{1}= \) const, можно вывести принцип наименьшего действия Мопертюи. Действительно, рассмотрим все поверхности \( S_{1} \) = const, соответствующие бесконечно близким значениям постоянных, лежащим между \( c_{1} \) и \( c_{2} \), и представим некоторые из этих поверхностей их следами на плоскости рисунка.

Пусть \( A E B \) – траектория класса, соответствующего функции \( S_{1} \), а \( A F B \) – кривая, бесконечно близкая к \( A E B \). Если через \( d n \) обозначить элемент нормали к поверхности \( S_{1}= \) const, то интеграл \( \int\left(\partial S_{1} / \partial n\right) d s \), взятый вдоль \( A E B \), будет равен \( c_{2}-c_{1} \), так как в данном случае \( d s=d n \). Возьмем тот же интеграл вдоль кривой \( A F B \). Вклад в этот интеграл малого элемента, каковым является \( F G \), либо больше, либо (в крайнем случае) равняется приращению \( S_{1} \) при переходе от \( F \) к \( G \). В самом деле, если отрезок \( F G \) нормален к поверхностям \( S_{1}= \) const, проходящим через две близкие точки, то \( F G=d n \) и

—————————————————————-
001_book2_original_page-0038.jpg.txt

\( \left(\partial S_{1} / \partial n\right) \overline{F G}=S_{1}(G)-S_{1}(F) \). Если же \( F G \) не является нормалью к поверхности \( S_{1}= \) const, то \( \overline{F G}>d n \) и \( \left(\partial S_{1} / \partial n\right) \overline{F G} \) больше, чем \( S_{1}(G)-S_{1}(F) \). Но все элементы отрезка кривой \( A F B \) не могут быть нормальны к поверхностям \( S_{1}= \) const, если только \( A F B \) не совпадает с траекторией \( A E B \). Поэтому интеграл \( \int_{A}^{B}\left(\partial S_{1} / \partial n\right) d s \) будет больше вдоль \( A F B \), чем вдоль \( A E B \).
Из уравнения для \( S_{1} \) имеем
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial n}=\sqrt{\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial z}\right)^{2}}=\sqrt{2 m[E-V(x, y, z)]} .
\]

Таким образом, мы приходим к следующему выводу: траектория, проходящая через две точки \( A \) и \( B \) пространства, характеризуется тем, что интеграл \( \int_{A}^{B} \sqrt{2 m(E-V)} d s \) для этой траектории меньше, чем для любой соседней кривой. Это – принцип наименьшего действия Мопертюи.
(Проведенные рассуждения теряют силу, когда траектории имеют огибающую и когда траектория \( A E B \) касается этой огибающей между \( A \) и \( E \). В этом случае интеграл Мопертюи может быть не минимальным, а максимальным, но он по-прежнему имеет экстремум.)

Все сказанное можно проиллюстрировать очень простым примером. Рассмотрим частицу, движущуюся в отсутствие поля. В этом случае \( V=0 \), и с учетом закона сохранения энергии уравнение Якоби можно переписать в форме
\[
\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial z}\right)^{2}\right]=E .
\]

Полный интеграл получается, например, если положить
\[
S_{1}=\sqrt{2 m} \vec{E}\left(\alpha x+\beta y+\sqrt{\left.1-\alpha^{2}-\beta^{2} z\right),}\right.
\]

и по теореме Якоби имеем траектории
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial S_{1}}{\partial \alpha}=\sqrt{2 m E}\left(x-\frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}}} z\right)=a, \\
\frac{\partial S_{1}}{\partial \beta}=\sqrt{2 m E}\left(y-\frac{\beta}{\sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}}} z\right)=b .
\end{array}
\]

Это прямые с направляющими косинусами \( \alpha, \beta \) и \( \sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} \), ортогональные плоскостям \( S_{1}= \) const. Движение по этим прямым описывается уравнением

Движение будет прямолинейным и равномерным со скоростью \( v=\sqrt{2 E / m} \). Наконец, как нетрудно убедиться, выполняются соотношения \( p_{x} \equiv m v_{x}= \) \( =m \alpha v=\sqrt{2 m E} \alpha=\partial S_{1} / \partial x, \ldots \). Полным рассматриваемым интегралом определяется класс прямолинейных равномерных движений в направлении \( \alpha, \beta \), \( \gamma \) со скоростью \( \sqrt{2 E / m} \).

Таким же образом определяется класс прямолинейных и равномерных движений, исходящих из точки \( O \) с координатами \( x_{0}, y_{0}, z_{0} \). Для этого нужно рассмотреть полный интеграл уравнения для \( S \) :
\[
S=-\frac{m}{2 t}\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right] .
\]