Рассмотрим две наблюдаемые \( A \) и \( B \) (которые мы будем считать некоммутирующими). Пусть собственные значения и собственные функции первого из соответствующих операторов равны \( \alpha_{i} \) и \( \varphi_{i} \), а второго \( -\beta_{i} \) и \( \chi_{i} \). Из некоммутируемости операторов \( A \) и \( B \) следует, что системы функций \( \varphi_{i} \) и \( \chi_{i} \) не могут быть одинаковыми. Предположим, что начальное состояние системы характеризуется волновой функцией \( \psi=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i} \). Поскольку функции \( \chi \) образуют полную систему, то \( \varphi_{i} \) можно разложить по функциям \( \chi_{k} \), получив выражение вида
\( \varphi_{i}=\sum_{k} s_{i k} \chi_{k} \),
где \( s_{i k} \) – элементы некой унитарной матрицы \( S \). Таким образом, имеем
\( \psi=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i}=\sum_{i, k} c_{i} s_{i k} \chi_{k} \).
Если для системы, находящейся в состоянии \( \psi \), измеряется наблюдаемая \( A \), то измерения дадут одно из собственных значений \( \alpha_{i} \) с вероятностью \( \left|c_{i}\right|^{2} \). После измерения наблюдаемой \( A \) система окажется в состоянии \( \varphi_{i} \), и в этом состоянии измерения наблюдаемой \( B \) дадут собственное значение \( \beta_{k} \) с вероятностью \( \left|s_{i k}\right|^{2} \). Таким образом, если сначала измеряется наблюдаемая \( A \), а затем наблюдаемая \( B \), то полная вероятность получить для \( B \) собственное значение \( \beta_{k} \) равна
\( \sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}\left|s_{i k}\right|^{2} \).
Предположим теперь, что мы измерили наблюдаемую \( B \) непосредственно в начальном состоянии \( \psi \). Тогда, разложив \( \psi \) по собственным функциям \( \chi_{k} \), в силу общих принципов волновой механики мы получим, что вероятность получить для наблюдаемой \( B \) собственное значение \( \beta_{k} \) равна \( \left|\sum_{i} c_{i} s_{i k}\right|^{2} \). Эта в \( { }^{\text {s- }} \) личина существенно отличается от предыдущей, поскольку она зависит от фаз коэффициентов \( c_{i} \) и \( s_{i k} \), от которых предыдущая величина независима.

Поясним сказанное простым примером. Рассмотрим одномерную область изменения переменной \( x \) протяженностью \( L \). В этой области нормированные на \( L \) собственные функции наблюдаемой импульса \( p=A \) равны
\[
\varphi_{i}=\frac{1}{\sqrt{L}} \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{i} x\right) .
\]

Пусть волновая функция частицы в начальном состоянии имеет вид
\[
\psi=\sum_{i} \frac{c_{i}}{\sqrt{L}} \exp \left[\frac{2 \pi i}{h}\left(W_{i} t-p_{i} x\right)\right] .
\]

Если сначала измерить импульс \( p \), а затем координату \( x \), то вероятность получить значение координаты \( x=x_{0} \) будет равна
\[
\sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}\left|\frac{1}{\sqrt{L}} \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{i} x_{0}\right)\right|^{2}=\frac{1}{L},
\]

поскольку \( \sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1 \). Таким образом, все положения в области \( L \) равновероятны. Если же величину \( x \) измерить непосредственно в начальном состоянии, то вероятность значения \( x=x_{0} \) будет равна
\[
\left|\sum_{i} \frac{c_{i}}{\sqrt{L}} \exp \left[\frac{2 \pi i}{h}\left(W_{i} t-p_{i} x_{0}\right)\right]\right|^{2},
\]
т. е. будет представлять собой результат интерференции плоских волн, составляющих функцию \( \psi \). В частности, если начальная функция \( \psi \) есть стоячая волна, равная сумме двух волн с одинаковыми частотой и амплитудой, но бегущих по оси \( x \) в противоположных направлениях, т. е.
\[
\psi=\frac{1}{\sqrt{2} L}\left\{\exp \left[\frac{2 \pi i}{h}(W t-p x)+i \delta_{1}\right]+\exp \left[\frac{2 \pi i}{h}(W t+p x)+i \delta_{2}\right]\right\},
\]

то вероятность получить в этом начальном состоянии значение \( x=x_{0} \) равна
\[
\begin{aligned}
|\psi|^{2}=\frac{1}{2 L} \left\lvert\, \exp \left[\frac{2 \pi i}{h} p x+\delta_{2}\right]\right. & +\left.\exp \left[-\frac{2 \pi i}{h} p x+\delta_{1}\right]\right|^{2}= \\
& =\frac{1}{L}\left[1+\cos \left(\frac{4 \pi}{h} p x+\delta_{2}-\delta_{1}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Это – тоже стоячая волна. Мы видим, что результат интерференции вероятностей существенно зависит от фаз (роль которых очень велика). Это позволяет дать истолкование явлений интерференции, понимаемых в смысле обычной оптики \( { }^{1)} \).

То обстоятельство, что при измерении в начальном состоянии вероятность собственного значения \( \beta_{k} \) наблюдаемой \( B \) будет равна \( \left|\sum_{i} c_{i} s_{i k}\right|^{2} \), а не \( \sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}\left|s_{i k}\right|^{2} \), на первый взгляд может показаться противоречащим теореме умножения вероятностей. В действительности это не так. Величина \( \sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}\left|s_{i k}\right|^{2} \) есть та вероятность, которая должна получиться, если сначала измерить \( A \), а затем \( B \), ибо она равна сумме произведений вероятности получить сначала собственное значение \( \alpha_{i} \) величины \( A \) на вероятность того, что (после того как уже получено значение \( \alpha_{i} \) величины) будет получено собственное значение \( \beta_{k} \) наблюдаемой \( B \). Вероятность такого события вовсе не обязана быть равна вероятности получить значение \( \beta_{k} \) наблюдаемой \( B \) при измерении ее непосредственно в начальном состоянии.

Некоторые недоразумения здесь могут возникать из-за того, что в математической статистике обычно принимают, что измерение одной случайной величины (как правило, макроскопической), которое статистики называют общим термином «испытание», никак не сказывается на вероятностях других случайных величин. Например, чтобы найти корреляцию между ростом и окружностью груди группы призывников, измеряют эти величины у всех призывников, считая что измерение роста не влияет на окружность груди, и наоборот. Поэтому если через \( x \) обозначить рост, а через \( y \) – окружность груди, то
\( \operatorname{Prob}\left(x_{k}\right)=\sum_{i} \operatorname{Prob}\left(y_{i}\right) P_{y_{i}}\left(x_{k}\right) \),
где \( P_{y_{i}}\left(x_{k}\right) \) – вероятность того, что призывник с окружностью груди \( y_{i} \) имеет рост \( x_{k} \), причем здесь нет необходимости уточнять, проводилось ли измерение \( x \) до измерения \( y \) или наоборот. Такие кажущиеся совершенно естественными предположения справедливы лишь для макроскопических величин. В микроскопической же области квантовых явлений измерение одной случайной величины (испытание) влияет на вероятности других величин. Вероятности значений величины \( A \) не одинаковы до и после измерения величины \( B \). Вероятность получить некое значение наблюдаемой \( B \) после предварительного измерения величины \( A \), правильно описывается теоремой умножения вероятностей (и равна \( \left(\sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}\left|s_{i k}\right|^{2}\right) \), но она не равна вероятности \( \left(\left|\sum_{i} c_{i} s_{i k}\right|^{2}\right) \) получить то
\”) В дальнейшем де Бройль отказался от употребления термина «интерференция вероятностей», ставшего обычным в квантовой теории, и вернулся к своему первоначальному представлению о реально существующей физической волне (а именно волне де Бройля \( v \) с той же фазой, что и у волны \( \psi \), но с иной амплитудой), которая интерферирует в обычном смысле этого слова и определяет движение частицы в соответствии с законом, учитывающим статистические предсказания, возможные на основе волны \( \psi \), которая, очевидно, сохраняет лишь статистический смысл. – Ж. Л.

же самое значение величины \( B \) при ее измерении непосредственно в начальном состоянии \( { }^{1)} \).