В своих попытках (по нашему мнению, безнадежных) установить симметрию между пространственными и временной переменными Коста де Боргар высказал интересную мысль о том, что можно было бы применить метод характеристической функции Арнуса к операторам, действующим на время.

Прежде всего напомним суть метода Арнуса. В качестве основного постулата Арнус принимает, что для распределения вероятностей, соответствующего величине, которой соответствует оператор \( A \), существует характеристическая функция
\[
F_{A}(s)=\int_{D} \psi^{*} e^{i s A} \psi d \tau .
\]

Исходя из определения характеристической функции \( F_{A}(s) \) как математического ожидания величины \( \exp ( \) is \( A \) ),
\[
e^{i s A}=\int_{-\infty}^{\infty} P\left(\alpha^{\prime}\right) e^{i s \alpha^{\prime}} d \alpha^{\prime},
\]

можно путем обратного преобразования Фурье получить
\[
P\left(\alpha^{\prime}, t\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{A}(s) e^{-i s \alpha^{\prime}} d s=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d s e^{-i s \alpha^{\prime}} \int_{D} \psi^{*} e^{i s A} \psi d \tau,
\]

где \( \alpha \) и \( \varphi \) – собственные значения и собственные функции оператора \( A \), в связи с чем
\[
\psi=\int_{-\infty}^{\infty} c(\alpha, t) \varphi(\alpha, \mathrm{r}) d \alpha, \quad e^{i s A} \psi=\int_{-\infty}^{\infty} c(\alpha, t) e^{i s \alpha} \varphi(\alpha, \mathrm{r}) d \alpha,
\]

откуда
\[
\begin{aligned}
P\left(\alpha^{\prime}, t\right) & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d s e^{-i s \alpha^{\prime}} \int_{D} d \tau \int_{-\infty}^{\infty} c^{*}(\beta, t) \varphi^{*}(\beta, \mathbf{r}) d \beta \int_{-\infty}^{\infty} c(\alpha, t) e^{i s \alpha} \varphi(\alpha, \mathbf{r}) d \alpha= \\
= & \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d s e^{-i s \alpha^{\prime}} \int_{-\infty}^{\infty} c^{*}(\beta, t) d \beta \int_{-\infty}^{\infty} c(\alpha, t) e^{i s \alpha} d \alpha \int_{D} \underbrace{\varphi^{*}(\beta, \mathbf{r}) \varphi(\alpha, \mathbf{r}) d \tau}_{\delta(\beta-\alpha)}=
\end{aligned}
\]

\[
\begin{array}{c}
=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d s e^{-i s \alpha^{\prime}} \int_{-\infty}^{\infty}|c(\alpha, t)|^{2} e^{i s \alpha} d \alpha= \\
=\int_{-\infty}^{\infty}|c(\alpha, t)|^{2} d \alpha \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d s e^{i s\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)}=\int_{-\infty}^{\infty}|c(\alpha, t)|^{2} \delta\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right) d \alpha .
\end{array}
\]

Поэтому окончательно
\[
P(\alpha, t)=\left|c\left(\alpha^{\prime} t\right)\right|^{2},
\]

что и нужно было показать.
Таким методом легко пользоваться в случае, когда оператор \( A \) действует только на пространственные переменные, а время \( t \) играет роль лишь числового параметра. Коста де Боргар предложил обобщение на случай операторов, действующих на время.

Рассмотрим оператор энергии в случае, когда на квантовую систему действует внешнее возмущение в течение ограниченного промежутка времени \( 0-T \). Если в период действия возмущения волновая функция системы допускает разложение вида \( \psi=j c(E, t) \psi_{E}^{(0)}(\boldsymbol{r}) d E \), где \( \psi^{(0)} \) – собственная функция гамильтониана \( H^{(0)} \) невозмущенной системы, то метод Арнуса позволяет нам считать, что вероятность нахождения системы в момент \( t \) в состоянии с энергией \( E \) равна \( |c(E, t)|^{2} \). Но мы видели, что в силу четвертого соотношения неопределенностей данное утверждение, вообще говоря, не имеет физического смысла, так как путем измерения систему невозможно обнаружить в состоянии с энергией \( E \). Можно лишь утверждать, что по окончании действия возмущения \( (t \geqslant T) \), когда козффициенты \( c(E, t) \) примут постоянные конечные значения \( c(E, t) \), вероятность найти систему в состоянии с энергией \( E \) будет равна \( |c(E, T)|^{2} \).

Это находится в полном соответствии с тем, что мы рассмотрели выше. Попытаемся теперь вместе с Коста де Боргаром применить метод Арнуса к оператору \( A=(h / 2 \pi i)(\partial / \partial t) \), допуская, что соответствующая вероятность дается выражением
\[
P(E, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d s e^{-i s E} \int_{D} \psi^{*} e^{\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial t}} \psi d \tau,
\]

как это должно было бы быть, если бы в определение характеристической функции имело смысл вводить оператор \( A=(h / 2 \pi i)(\partial / \partial t) \). Поскольку при \( t \geqslant T \), т.е. после прекращения действия возмущения, выполняется равенство
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=H^{(0)} \psi \text {, }
\]

мы имеем также
\( \exp [(2 \pi i / h)(\partial / \partial t)] \psi=\exp \left[(2 \pi i / h) H^{(0)}\right] \psi \).
Тогда мы видим, что при \( t \geqslant T \) вероятность \( P(E, t) \) принимает постоянное значение \( P(E, T)=|c(E, T)|^{2} \), т.е. значение, найденное выше, и в области реально наблюдаемого замена оператора \( H \) оператором ( \( h / 2 \pi i)(\partial / \partial t) \) ничего не меняет.

Применим теперь метод Арнуса к оператору \( \dot{A}=t \times \), который должен был бы соответствовать времени, если бы время, так же как координаты \( x, y, z \), было случайной переменной. Получим
\[
P\left(t^{\prime}, t\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d s e^{-i s t^{\prime}} \int_{D} \psi^{*} e^{i s t} \psi d \tau=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d s e^{i s\left(t-t^{\prime}\right)}=\delta\left(t-t^{\prime}\right) .
\]

Этот результат означает, что в момент \( t \), указываемый нашими часами, случайная переменная времени, приписанная нами системе (или частице), должна принимать значение \( t^{\prime}=t \). Стало быть, эта переменная времени, имеющая совершенно определенное значение, в действительности не есть случайная величина, и мы снова приходим к выводу, что в волновой механике не существует статистического распределения для времени.

Таким образом, метод характеристической функции Арнуса в применении к операторам, действующим на время, не устраняет глубокого различия, существующего в волновой механике между временем и энергией, с одной стороны, и пространственными координатами и сопряженными им импульсами – с другой.