Как только мы провели измерение, становится известной волновая функция \( \psi_{1} \), описывающая состояние наших знаний после измерения. Можно ли определить по этой волновой функции ту, которая существовала до измерения? На первый взгляд может показаться, что это возможно, если, например, волновую функцию после измерения принять за начальное выражение для \( \psi \) и проследить ее эволюцию в прошлое при помощи волнового уравнения, в котором знак времени изменен на противоположный.
Однако этот вопрос требует более тщательного рассмотрения.
Предположим, что мы имеем дело с одной частицей (или одной системой частиц). Пусть \( \psi_{0}=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k} \) – начальная волновая функция частицы до измерения, соответствующая тому, что нам известно в данныи момент, и разложенная в ряд по собственным функциям \( \varphi_{k} \) наблюдаемой \( A \), которую мы собираемся измерить. При точном измерении величины \( A \) мы получаем одно из собственных значений \( a_{l} \), вероятность появления которого в процессе измерения составляет \( \left|c_{l}\right|^{2} \). После измерения волновая функция примет вид \( \psi_{1}=\varphi_{I} \). Значение \( \psi_{1} \) ничего не говорит нам о значениях коэффициентов \( c_{k} \) до измерения и даже не дает никакой информации о коэффициенте \( c_{l} \), соответствующем \( a_{l}{ }^{1} \). Поэтому мы не можем определить \( \psi_{0} \) по известной волновой функции \( \psi_{1} \).

Положение несколько облегчается в случае очень большого числа \( N \) частиц (или систем частиц) с начальной волновой функцией \( \psi_{0} \). Тогда измерение наблюдаемой \( A \) для \( N \) систем с очень большой степенью точности даст \( N \mid c_{1} I^{2} \) раз значение \( a_{1}, N\left|c_{2}\right|^{2} \) раз – значение \( a_{2} \) и т. д. В результате мы узнаем значения величин \( \left|c_{k}\right|^{2} \), но это не эквивалентно знанию самого коэффициента \( c_{k}=\left|c_{k}\right| \exp \left(i \delta_{k}\right) \),
поскольку «фазы» \( \delta_{k} \) остаются неизвестными. Отсюда следует, что остаются неизвестными разности фаз между составляющими \( c_{k} \varphi_{k} \) функции \( \psi_{0} \). Но эти
\( { }^{1)} \) Нам известно лишь, что \( c_{l}
eq 0 \). – Л.. .
разности, как мы вскоре увидим, играют принципиально важную роль. Таким образом, даже путем статистических измерений невозможно восстановить по \( \psi_{1} \) функцию \( \psi_{0} \).

Для большей конкретности рассмотрим пример измерения импульса и координаты, ограничиваясь случаем одномерного движения свободной частицы. Если наблюдаемая \( A \) – это импульс \( p \), то
\[
\psi_{0}=\sum_{k} c_{k} \exp \left[-(2 \pi i / h) p_{k} x\right]
\]

и измерение дает значение \( p=p_{l} \), вероятность которого до измерения по предположению была равна \( \left|c_{l}\right|^{2} \). После измерения волновая функция примет вид
\[
\psi_{1}=\exp \left[-(2 \pi i / h) p_{l} x\right]
\]

и мы не имеем никакой возможности определить \( \psi_{0} \) по известной функции \( \psi_{1} \). Статистические измерения на очень большом числе частиц, имеющих в качестве начальной одну и ту же волновую функцию \( \psi_{0} \), дадут нам величину \( \left|c_{k}\right|^{2} \), но не дадут никаких сведений об относительных фазах составляющих функции \( \psi_{0} \).

Перейдем к случаю измерения координаты, когда наблюдаемая \( A=x \). Измерение величины \( x \) даст некоторое значение \( x_{i} \), вероятность появления которого до измерения была равна \( \left|\psi_{0}\left(x_{j}\right)\right|^{2} \). После измерения волновая функция примет вид \( \psi_{1}=\delta\left(x-x_{i}\right) \), который ничего не говорит нам о функции \( \psi_{0} \). Единственное, что мы знаем, это то, что функция \( \psi_{0}\left(x_{1}\right) \) была отлична от нуля. Статистические измерения на очень большом числе частиц с одинаковыми начальными волновыми функциями \( \psi_{0} \) дадут нам величину \( \left|\psi_{0}(x)\right|^{2} \) в каждой точке \( x \), но они ничего не скажут об относительных фазах функции \( \psi_{0} \) в различных точках. Например, если мы найдем, что \( |\psi(x)| \) везде имеет одно и то же значение \( A_{1} \), то \( \psi_{0} \) может быть плоской монохроматической волной с амплитудой \( A \), имеющей произвольную длину волны и произвольное направление распространения; \( \psi_{0} \) может даже иметь вид \( \psi_{0}=A \exp [i \delta(x)] \), где \( \delta(x)- \) произвольная функция.

Итак, всякое измерение приводит к полному размыванию фаз (Бор) \( { }^{1)} \). Данное обстоятельство послужило для Дирака исходным пунктом в его первой работе по теории вторичного квантования, и подобный способ введения вто-
1) Для лучшего понимания эволюции идей де Бройля по данному вопросу весьма рекомендуем его книгу «Теория измерений в волновой механике» [II, 27]. В ней он показывает, что в конечном итоге любое измерение можно свести к измерению положения. Такое сведе́ние означает, что первоначальная волна предварительно разлагается на волновые пакеты, разделенные в пространстве, и сам факт регистрации того, что частица присутствует в одном из пакетов, дает возможность однозначно приписать некоторое значение величине, которую предполагалось измерить. Именно разложение начального волнового пакета на разделенные волновые пакеты и привязывание частицы к одному из них оказывается причиной нарушения соотношения между фазами. – Ж. Л.

ричного квантования остается наиболее логичным с физической точки зрения.
Вследствие размывания фаз при измерении измерение вносит разрыв в эволюцию функции \( \psi \), который неустраним как при движении от прошлого к будущему, так и при движении от будущего к прошлому.

Разности фаз между составляющими \( \varphi_{k} \) волновой функции имеют принципиально важное значение. Любые сведения о функции \( \psi \), не содержащие сведений о фазах, являются радикально неполными. Важное значение фаз в волновой механике в полной мере обнаруживается при изучении столь важного вопроса, как интерференция вероятностей.