Поскольку время играет в волновой механике особую роль, сопряженная с ним величина — энергия тоже должна чем-то выделяться. И действительно, так как величине $p_x$ ставится в соответствие оператор — $(h/2\pi i)(\partial /\partial x)$, с релятивистской точки зрения было бы естественно поставить в соответствие энергии оператор ( $h/2\pi i)(\partial /\partial t)$. Но, как мы знаем, энергии ставят в соответствие оператор Гамильтона $H$, в который входят частные производные по $x,y,z$. Дуальность этих двух операторов, а также та особая роль, которую в волновой механике играет величина, сопряженная времени, хорошо видны из волнового уравнения, записанного в виде $(h/2\pi i)(\partial \psi /\partial t)=H\psi$.

То, что в качестве оператора энергии следует рассматривать гамильтониан $H$, явствует из того, что собственные значения энергии квантованной системы определяются уравнением $H\psi =E\psi$ с соответствующими граничными условиями для пространственных переменных. Уравнение же $(h/2\pi i)(\partial \psi /\partial t)=E\psi$, peшение которого имеет вид $\psi =a\exp [(2\pi i/h)Et]$, непригодно для квантования: для него невозможно задать граничные условия, соответствующие бесконечному времени, да такие условия и не могли бы дать собственные значения, соответствующие опыту. Это ясно показывает необходимость несимметричного рассмотрения в волновой механике пространственных координат и времени.

Отметим еще одно важное обстоятельство. Принцип спектрального разложения говорит нам, что если ${\alpha }_k$ и ${\phi }_k$ — собственные значения и собственные функции некоего оператора $A$ волновой механики, т.е. если мы имеем разложение $\psi =\sum _k{c}_k(t){\phi }_k$, то вероятность того, что измерение в момент $t$ даст для величины $A$ значение ${\alpha }_k$, равна ${|c_k(t)|}^2$. В приложении к энергии, характеризуемой гамильтонианом $H$ с собственными значениями $E_k$ и собственными функциями ${\psi }_k$, это означает, что если волновая функция допускает разложение $\psi =\sum _k{c}_k(t){\psi }_k$, то вероятность того, что измерение, проведенное в момент времени $t$, даст для энергии системы значение $E_k$, равна ${|c_k(t)|}^2$. Но здесь имеется одно важное условие: сказанное верно лишь в том случае, если величина $c_k(t)$ достаточно медленно изменяется с течением времени, так что можно провести точное измерение энергии в согласии с четвертым соотношением неопределенностей. Если это условие не выполняется (выше мы приводили такой пример), то, очевидно, указанное утверждение теряет физический смысл. Данное условие, которого нет в случае величин, отличных от энергии, указывает на особую роль энергии как величины, канонически сопряженной времени, связанную с тем обстоятельством, что время в волновой механике выступает не как случайная переменная, а как числовой параметр, характеризующий эволюцию системы.