Поскольку время играет в волновой механике особую роль, сопряженная с ним величина – энергия тоже должна чем-то выделяться. И действительно, так как величине \( p_{x} \) ставится в соответствие оператор – \( (h / 2 \pi i)(\partial / \partial x) \), с релятивистской точки зрения было бы естественно поставить в соответствие энергии оператор ( \( h / 2 \pi i)(\partial / \partial t) \). Но, как мы знаем, энергии ставят в соответствие оператор Гамильтона \( H \), в который входят частные производные по \( x, y, z \). Дуальность этих двух операторов, а также та особая роль, которую в волновой механике играет величина, сопряженная времени, хорошо видны из волнового уравнения, записанного в виде \( (h / 2 \pi i)(\partial \psi / \partial t)=H \psi \).

То, что в качестве оператора энергии следует рассматривать гамильтониан \( H \), явствует из того, что собственные значения энергии квантованной системы определяются уравнением \( H \psi=E \psi \) с соответствующими граничными условиями для пространственных переменных. Уравнение же \( (h / 2 \pi i)(\partial \psi / \partial t)=E \psi \), peшение которого имеет вид \( \psi=a \exp [(2 \pi i / h) E t] \), непригодно для квантования: для него невозможно задать граничные условия, соответствующие бесконечному времени, да такие условия и не могли бы дать собственные значения, соответствующие опыту. Это ясно показывает необходимость несимметричного рассмотрения в волновой механике пространственных координат и времени.

Отметим еще одно важное обстоятельство. Принцип спектрального разложения говорит нам, что если \( \alpha_{k} \) и \( \varphi_{k} \) – собственные значения и собственные функции некоего оператора \( A \) волновой механики, т.е. если мы имеем разложение \( \psi=\sum_{k} c_{k}(t) \varphi_{k} \), то вероятность того, что измерение в момент \( t \) даст для величины \( A \) значение \( \alpha_{k} \), равна \( \left|c_{k}(t)\right|^{2} \). В приложении к энергии, характеризуемой гамильтонианом \( H \) с собственными значениями \( E_{k} \) и собственными функциями \( \psi_{k} \), это означает, что если волновая функция допускает разложение \( \psi=\sum_{k} c_{k}(t) \psi_{k} \), то вероятность того, что измерение, проведенное в момент времени \( t \), даст для энергии системы значение \( E_{k} \), равна \( \left|c_{k}(t)\right|^{2} \). Но здесь имеется одно важное условие: сказанное верно лишь в том случае, если величина \( c_{k}(t) \) достаточно медленно изменяется с течением времени, так что можно провести точное измерение энергии в согласии с четвертым соотношением неопределенностей. Если это условие не выполняется (выше мы приводили такой пример), то, очевидно, указанное утверждение теряет физический смысл. Данное условие, которого нет в случае величин, отличных от энергии, указывает на особую роль энергии как величины, канонически сопряженной времени, связанную с тем обстоятельством, что время в волновой механике выступает не как случайная переменная, а как числовой параметр, характеризующий эволюцию системы.