Рассмотрим теперь эксперимеңт, в котором скорость электрона измеряется по эффекту Доплера. Предположим, что электрон движется со скоростью $v$ в положительном направлении оси $Ox$. На этот электрон направляется пакет световых волн со средней длиной волны $\lambda$, распространяющийя вдоль оси $Ox$ в отрицательном направлении. Если происходит акт рассеяния, то рассеянный фотон может изменить свою скорость и начать двигаться вдоль оси $Ox$ в положительном направлении. Предположим, что так и произошло и что мы можем точно измерить частоту $u^{\prime }$ после рассеяния. Для простоты примем, что скорость электрона намного меньше скорости света, и напишем уравнения, выражающие законы сохранения энергии и импульса:
$$\begin{array}{l}hu+\frac{m_0{v}^2}{2}=h{u}^{\prime }+\frac{m_0{v}^{\prime 2}}{2},\\ m_{0}v-\frac{h\underset{―}{u}}{c}=m_0{v}^{\prime }+\frac{h{u}^{\prime }}{c},\end{array}$$

где $v^{\prime }$ — конечная скорость электрона. Исключив $v^{\prime }$ из этих двух уравнений, получим
$$h(u-u^{\prime })=\frac{1}{2m_0}(\frac{h^2}{c^2}{(u+u^{\prime })}^2-2m_{0}v\frac{h}{c}(u+u^{\prime })).$$

Положим $u^{\prime }=u-\epsilon$ и учтем, что $\epsilon$ мало и, следовательно, величинами $\epsilon (v/c)$ и ${\epsilon }^2$ можно пренебречь, так же как и величиной $\epsilon \left(hu/m_0{c}^2\right)$, поскольку величина $hu/m_0{c}^2\sim {10}^{-13}/{10}^{-6}$ тоже мала. Окончательно получаем
$$\epsilon =2\frac{h{v}^2}{m_0{c}^2}-2\frac{v}{c}u,$$

откуда следует формула
\[

u^{\prime}=
u-\varepsilon=
u\left(1-\frac{2 h
u}{m_{0} c^{2}}+\frac{2 v}{c}\right) .
\]

Здесь в рассматриваемом приближении одновременно учтены эффект Допле$\mathrm{pa}$, характеризуемый членом $2v/c$, и эффект Комптона, описываемый членом $-2hv/m_0{c}^2$. Эффект Комптона приводит к изменению скорости электрона. Поэтому если мы хотим точно измерить ее по эффекту Доплера, то необходимо создать условия, при которых эффектом Комптона можно было бы пренебречь по сравнению с эффектом Доплера, откуда следует, что должна быть очень малой величина $\left(hu/m_0{c}^2\right)/(v/c)=h/m_{0}v\lambda$. В этом случае заметную роль будет играть лишь эффект Доплера, и мы можем положить
\[

u^{\prime}=
u(1+2 v / c), \lambda^{\prime}=\lambda(1-2 v / c) \text {. }
\]

Но волновой пакет всегда имеет конечную длину $l$, а потому он не является строго монохроматическим. Если ввести волновое число $1/\lambda$, то оно будет различным для разных монохроматических составляющих волнового пакета. Из теории представлений волновых пакетов с помощью интегралов Фурье следует, что неопределенность $\delta (1/\mathrm{X})$ будет равна $\sim 1/l$. Ғоэтому, если даже свести к нулю экспериментальные ошибки измерения величины ${\lambda }^{\prime }$, останется неопределенность в значении $v$, обусловленная тем, что
$$v=\frac{c}{2}(1-\frac{{\lambda }^{\prime }}{\lambda })\text{. }$$

Неопределенность в величине $\lambda$ влечет за собой неопределенность в величине $v$, равную
$$\delta v=\frac{c}{2}{\lambda }^{\prime }\delta \left(\frac{1}{\lambda }\right).$$

В связи с этим неопределенность составляющей импульса электрона по оси $Ox$ после измерения будет равна
$$\delta p_x\approx mc\lambda /2\text{. }$$

Но результат одновременного измерения координаты тоже содержит некоторую неопределенность. В самом деле, хотя эффект Комптона и предполагается слабым по сравнению с эффектом Доплера, тем не менее он существует и, как мы видели, приводит к изменению скорости, равному $v^{\prime }-v\approx -2hu/m_{0}c=-2h/m_0\lambda$. Предположим, что начальное положение частицы точно известно, т.е. что мы имеем самый благоприятный случай. Неопределенность положения после измерения обусловлена тем, что остается неизвестным, в какой именно момент из промежутка времени $l/c$, в течение которого волновой пакет проходит мимо электрона, происходит рассеяние. В результате неопределенность $\delta x$ конечного положения электрона оказывается равной
$$\delta x=(v-v^{\prime })\frac{l}{c}=\frac{2h}{m\lambda }\frac{l}{c}.$$

Поэтому даже в самом благоприятном случае
$$\delta x\cdot \delta p_x\approx \frac{mc\lambda }{2l}\frac{2h}{m\lambda }\frac{l}{c}=h,$$
и мы снова приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга.