Рассмотрим теперь эксперимеңт, в котором скорость электрона измеряется по эффекту Доплера. Предположим, что электрон движется со скоростью \( v \) в положительном направлении оси \( O x \). На этот электрон направляется пакет световых волн со средней длиной волны \( \lambda \), распространяющийя вдоль оси \( O x \) в отрицательном направлении. Если происходит акт рассеяния, то рассеянный фотон может изменить свою скорость и начать двигаться вдоль оси \( O x \) в положительном направлении. Предположим, что так и произошло и что мы можем точно измерить частоту \(
u^{\prime} \) после рассеяния. Для простоты примем, что скорость электрона намного меньше скорости света, и напишем уравнения, выражающие законы сохранения энергии и импульса:
\[
\begin{array}{l}
h
u+\frac{m_{0} v^{2}}{2}=h
u^{\prime}+\frac{m_{0} v^{\prime 2}}{2}, \\
m_{0} v-\frac{h \underline{
u}}{c}=m_{0} v^{\prime}+\frac{h
u^{\prime}}{c},
\end{array}
\]

где \( v^{\prime} \) – конечная скорость электрона. Исключив \( v^{\prime} \) из этих двух уравнений, получим
\[
h\left(
u-
u^{\prime}\right)=\frac{1}{2 m_{0}}\left(\frac{h^{2}}{c^{2}}\left(
u+
u^{\prime}\right)^{2}-2 m_{0} v \frac{h}{c}\left(
u+
u^{\prime}\right)\right) .
\]

Положим \(
u^{\prime}=
u-\varepsilon \) и учтем, что \( \varepsilon \) мало и, следовательно, величинами \( \varepsilon(v / c) \) и \( \varepsilon^{2} \) можно пренебречь, так же как и величиной \( \varepsilon\left(h
u / m_{0} c^{2}\right) \), поскольку величина \( h
u / m_{0} c^{2} \sim 10^{-13} / 10^{-6} \) тоже мала. Окончательно получаем
\[
\varepsilon=2 \frac{h v^{2}}{m_{0} c^{2}}-2 \frac{v}{c}
u,
\]

откуда следует формула
\[

u^{\prime}=
u-\varepsilon=
u\left(1-\frac{2 h
u}{m_{0} c^{2}}+\frac{2 v}{c}\right) .
\]

Здесь в рассматриваемом приближении одновременно учтены эффект Допле\( \mathrm{pa} \), характеризуемый членом \( 2 v / c \), и эффект Комптона, описываемый членом \( -2 h v / m_{0} c^{2} \). Эффект Комптона приводит к изменению скорости электрона. Поэтому если мы хотим точно измерить ее по эффекту Доплера, то необходимо создать условия, при которых эффектом Комптона можно было бы пренебречь по сравнению с эффектом Доплера, откуда следует, что должна быть очень малой величина \( \left(h
u / m_{0} c^{2}\right) /(v / c)=h / m_{0} v \lambda \). В этом случае заметную роль будет играть лишь эффект Доплера, и мы можем положить
\[

u^{\prime}=
u(1+2 v / c), \lambda^{\prime}=\lambda(1-2 v / c) \text {. }
\]

Но волновой пакет всегда имеет конечную длину \( l \), а потому он не является строго монохроматическим. Если ввести волновое число \( 1 / \lambda \), то оно будет различным для разных монохроматических составляющих волнового пакета. Из теории представлений волновых пакетов с помощью интегралов Фурье следует, что неопределенность \( \delta(1 / \mathrm{X}) \) будет равна \( \sim 1 / l \). Ғоэтому, если даже свести к нулю экспериментальные ошибки измерения величины \( \lambda^{\prime} \), останется неопределенность в значении \( v \), обусловленная тем, что
\[
v=\frac{c}{2}\left(1-\frac{\lambda^{\prime}}{\lambda}\right) \text {. }
\]

Неопределенность в величине \( \lambda \) влечет за собой неопределенность в величине \( v \), равную
\[
\delta v=\frac{c}{2} \lambda^{\prime} \delta\left(\frac{1}{\lambda}\right) .
\]

В связи с этим неопределенность составляющей импульса электрона по оси \( O x \) после измерения будет равна
\[
\delta p_{x} \approx m c \lambda / 2 \text {. }
\]

Но результат одновременного измерения координаты тоже содержит некоторую неопределенность. В самом деле, хотя эффект Комптона и предполагается слабым по сравнению с эффектом Доплера, тем не менее он существует и, как мы видели, приводит к изменению скорости, равному \( v^{\prime}-v \approx-2 h
u / m_{0} c=-2 h / m_{0} \lambda \). Предположим, что начальное положение частицы точно известно, т.е. что мы имеем самый благоприятный случай. Неопределенность положения после измерения обусловлена тем, что остается неизвестным, в какой именно момент из промежутка времени \( l / c \), в течение которого волновой пакет проходит мимо электрона, происходит рассеяние. В результате неопределенность \( \delta x \) конечного положения электрона оказывается равной
\[
\delta x=\left(v-v^{\prime}\right) \frac{l}{c}=\frac{2 h}{m \lambda} \frac{l}{c} .
\]

Поэтому даже в самом благоприятном случае
\[
\delta x \cdot \delta p_{x} \approx \frac{m c \lambda}{2 l} \frac{2 h}{m \lambda} \frac{l}{c}=h,
\]
и мы снова приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга.