Теперь мы подходим к знаменитым рассуждениям, путем которых фон Нейман доказал \( { }^{1)} \) невозможность интерпретации вероятностных законов волновой механики на основе предположения о существовании скрытой от нас детерминированности. В классической физике, когда вместо точных законов вводили вероятности, всегда предполагали, что детерминированность явлений сохраняется, но что эта детерминированность слишком сложна или слишком тонка, чтобы мы могли ее полностью проследить, и нашим наблюдениям доступны лишь внешние эффекты, кажущиеся статистическими, а потому и появляются вероятности. Таким образом, отрицалось существовакие случайности в философском смысле как какого-либо отсутствия детерминированности. Считалось, что детерминированность всегда лежит в основании, в глубине реальности. Лишь явления крупного масштаба, непосредственно воспринимаемые нашими органами чувств, могут казаться подчиняющимися вероятностным законам, но случайность появляется лишь постольку, поскольку мы не в состоянии проследить за очень тонкой и очень сложной детерминированностью. Именно такое определение случайности можно найти в трудах всех ученыхфилософов, которые занимались этими вопросами до создания квантовых теорий, в частности у Анри Пуанкаре.

Простейшим примером псевдостатистической теории классической физики может служить кинетическая теория газов. В ней допускается, что молекулы газа движутся по законам классической механики и их взаимные столкновения определяются строгими законами механики, так что в основе все детерминированно. Но молекул настолько много и их движения настолько сложны, что мы не можем детально следить за этой элементарной детерминированностью; таким образом, молекулярное движение полностью скрыто для наших органов чувств, и мы можем воспринимать лишь макроскопические эффекты, вызванные этим движением, такие, как давление и температура газа, некоторые локальные флуктуации плотности, броуновское движение видимых частичек и т. д. Поскольку эти макроскопические явления оказываются следствием громадного числа очень сложных элементарных процессов, они кажутся нам явлениями статистического характера, для описания которых необходимы вероятности, хотя такое появление случайности в теории есть, лишь видимость.
1) Позже де Бройль несколько ослабил свое утверждение, так же как и выше, заменив слово «доказал» словами «пытался доказать», – Ж. Л.

Так, например, беспорядочное движение броуновской частицы представилось бы нам строго детерминированным, если бы мы могли рассчитать движение молекул и их соударения с этой частицей.

Поскольку в классической физике удалось таким образом исключить истинную случайность, заманчиво было бы попытаться исключить ее и в квантовой физике. В волновой механике мы имеем дело с распределением вероятностей, но нельзя ли предположить, что это обусловлено нашим незнанием некой скрытой детерминированности? Если бы это оказалось возможным, то мы снова могли бы исключить недетерминированность и истинную случайность и сохранить классическое понятие случайности. Если бы, напротив, это не удалсоь, то нам пришлось бы принять недетерминированность и случайность. В первом случае волновая механика была бы псевдостатистической теорией классического типа, а во втором случае она была бы, по выражению фон Неймана, «истинно статистической» теорией. Фон Нейман провел рассуждения [путем которых, по-видимому, доказывается] невозможность сведения вероятностных законов волновой механики к скрытой детерминированности: [таким образом, вопрос, по-видимому, решен во втором смысле и волновая механика представляется нам истинно статистической теорией, несовместимой с классической детерминированностью \( { }^{11} \) ].

В своем доказательстве фон Нейман рассуждал следующим образом. Допустить некую скрытую детерминированность – значит допустить существование переменных, точные значения которых нам неизвестны (скрытых параметров), например положения и скорости молекул газа, так что вероятности вводятся вследствие того, что мы не знаем точных значений этих скрытых параметров. В детерминированной теории со скрытыми параметрами истинное состояние, например, газа в каждый момент полностью детерминировано: все молекулы газа имеют вполне определенные положения и скорости, и если бы мы знали все эти параметры, то могли бы характеризевать состояние газа некой точкой в фазовом пространстве. Но мы не знаем точные значения скрытых параметров и, чтобы характеризовать глобальные внешние эффекты, единственно воспринимаемые нашими органами чувств и нашими приборами, говорим о «смеси» элементарных состояний с соответствующими статистическими весами. Таким образом, в детерминистской теории со скрытыми параметрами, как и в кинетической теории газа, рассматриваются статистические
1) Позже Луи де Бройль ослабил данное высказывание двумя поправками: он заменил (карандашом) слова «путем которых, по-видимому, доказывается».словами «путем которых, как ему казалось, доказывается» и, кроме того, дважды зачеркнул вывод, который мы поместили в квадратные скобки: чернилами и карандашом. Если судить по всей рукописи, то представляется весьма вероятным, что карандашные поправки были сделаны после чернильных и что рукопись перечитывалась по меньшей мере дважды: все поправки в рукописи, имеющие отношение к двойному решению, были сделаны карандашом. Таким образом, несомненно, что на протяжении многих лет Луи де Бройл, не намереваясь публиковать данную рукопись, тем не менее обращался к ней в ходе своих размышлений. Некоторые места из рукописи, несомненно, использованы в других его работах. \( -\mathcal{\text { K. }} \).

смеси элементарных состояний, в которых все величины имеют вполне определенные значения, причем эти смешанные состояния вводятся из-за того, что мы не можем наблюдать элементарные состояния, характеризуемые совершенно определенными значениями, и не можем следить за их изменением во времени. Элементарные состояния, составляющие смешанное состояние, в действительности неразложимы, и для них «нет дисперсий», ибо, поскольку любая величина \( A \) имеет вполне определенное значение, она равна своему среднему значению \( \bar{A} \) и \( \sigma^{2}=\overline{(A-\bar{A})^{2}}=\bar{A}^{2}-(\bar{A})^{2}=0 \), так же как равны нулю и все разности \( \overline{A^{n}}-(\bar{A})^{n} \).

Короче говоря, для того чтобы статистическую теорию можно было свести к детерминистской схеме со скрытыми параметрами, все статистические распределения, фигурирующие в этой теории, должны сводиться к смесям элементарных неразложимых состояний, не имеющих дисперсии. Фон Нейман показал, что в волновой механике это не имеет места \( { }^{1} \). При этом он опирался на следуюшую, важную теорему.

Теорема. Состояния, которые встречаются в волновой механике, никогда не являются состояниями без дисперсии.

Другими словами, ни в одном состоянии, возможном в волновой механике, для всех наблюдаемых не может выполняться соотношение \( \bar{A}^{2}=(\bar{A})^{2} \).

Чтобы убедиться в этом, мы будем исходить из того, что, как было установлено выше, в волновой механике любое состояние (независимо от того, является ли оно смешанным или чистым состоянием) характеризуется эрмитовой статистической матрицей \( P \), след которой равен единице, так что среднее значение любой величины в рассматриваемом состоянии равно
\[
\bar{A}=\operatorname{Tr}(P \cdot A)=\operatorname{Tr}(A \cdot P) .
\]

Но для того чтобы в волновой механике состояние было без дисперсий, для всякой величины \( A \) должно выполняться равенство \( \overline{A^{2}}=(\bar{A})^{2} \), т. е.
\[
\operatorname{Tr}\left(P A^{2}\right)=[\operatorname{Tr}(P \cdot A)]^{2} .
\]

Пусть теперь \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{i}, \ldots \) – система ортонормированных базисных функций. Рассмотрим в гильбертовом пространстве оператор, проецирующий любой вектор из этого пространства на вектор \( \varphi_{i} \). Подобного рода проектор \( P_{\varphi_{i}} \) является линейным эрмитовым оператором, и мы можем принять \( A^{\varphi_{i}}=P_{\varphi_{i}} \). Если состояние является состоянием без дисперсий, то, в частности, должно выполняться равенство
\( \operatorname{Tr}\left(P P_{\varphi_{i}}^{2}\right)=\left[\operatorname{Tr} P \cdot P_{\varphi_{i}}\right]^{2} \).
Но из того, что \( P_{\varphi_{i}} \) является оператором проектирования, следует равенство
1) Здесь автор тоже позднее написал «попытался показать» вместо «показал», – Ж. Л.

\( P_{\varphi_{i}}^{2}=P_{\varphi_{i}} \). Таким образом,
\( \operatorname{Tr} P P_{\varphi_{i}}=\left(\operatorname{Tr} P \cdot P_{\varphi_{i}}\right)^{2} \),
или
\( \operatorname{Tr} P P_{\varphi_{i}}=\sum_{k} \int_{D} \varphi_{k}^{*} P P_{\varphi_{i}} \varphi_{k} d \tau=\sum_{k} \int_{D} \varphi_{k}^{*} P \varphi_{i} d \tau \delta_{i k} \),
T. e.
\( \operatorname{Tr} P P_{\varphi_{i}}=\int_{D} \varphi_{i}^{*} P \varphi_{i} d \tau=P_{i i} \).
Данный след должен равняться своему собственному квадрату, а потому \( P_{i i}=1 \) или \( P_{i i}=0 \). И это должно выполняться при всех индексах \( i \), поскольку мы можем рассуждать аналогичным образом при любых \( P_{\varphi_{i}} \). Но можно предположить, что некоторые из элементов \( P_{i i} \) равны нулю, а другие – единице. Тогда соотношение \( \sum P_{i i}=1 \) может выполняться, если все элементы \( P_{i i} \) равны нулю, кроме одного.

Но последний вариант должен быть отброшен, поскольку в гильбертовом пространстве можно непрерывным образом менять систему ортонормированных базисных функций путем операции, соответствующей вращению осей в этом функциональном пространстве. Таким образом, мы можем последовательно переходить с помощью непрерывной операции от каждой из первоначальных базисных функций к другим базисным функциям. В процессе такой непрерывной операции все элементы \( P_{i i} \) должны непрерывно изменяться, а поскольку для них возможны лишь значения 0 или 1 , они должны сохранять свои первоначальные значения. Следовательно, либо все элементы \( P_{i i} \) равны единице, либо все они равны нулю. Но ни то, ни другое неприемлемо, поскольку след матрицы \( P \), равный \( \sum_{i} P_{i i} \), должен равняться 1 , тогда как он будет равен нулю в одном случае и бесконечности – в другом.

Таким образом, не может существовать какая-либо приемлемая статистическая матрица \( P \), соответствующая отсутствию дисперсии для всех наблюдаемых. Впрочем, этот результат можно было предвидеть, поскольку мы знаем, что даже для чистого состояния (когда система имеет определенную волновую функцию) дисперсии \( \sigma_{x} \) и \( \sigma_{p_{x}} \) двух канонически сопряженных величин не могут одновременно равняться \( { }_{\text {нулю (так как по теореме }} \) о дисперсиях \( \left.\sigma_{x} \cdot \sigma_{p_{x}} \geq h / 4 \pi\right) \).

Итак, мы не можем свести распределения вероятностей в волновой механике к смесям неразложимых состояний, не имеющих дисперсий. В волновой механике существуют неразложимые состояния (таковыми являются чистые состояния), но эти состояния не являются состояниями без дисперсий. Отсюда вместе с фон Нейманом можно сделать вывод, что распределения вероятностей в волновой механике нельзя интерпретировать на основе гипотезы о скрытой детерминированности и о скрытых параметрах. Этот вывод может быть получен в результате изучения лишь чистых состояний, но общий анализ, выполненный фон Нейманом, позволяет провести более точное сравнение с вероятностными теориями в классической физике.

[В заключение своих размышлений об основаниях новой механики фон Нейман в очень категорической форме высказался о невозможности возвращения к классическим детерминистским понятиям. Чтобы не быть голословным, я процитирую следующие фразы из его книги «Математический формализм квантовой механики»:
«Можно следующим образом резюмировать состояние проблемы детерминированности (фон Нейман говорит «причинности») в современной физике. В макроскопической физике никакой опыт не может доказать детерминированности, поскольку причинный порядок, который представляется существующим в макроскопическом мире, не имеет другого основания, кроме закона больших чисел, и это совершенно не зависит от того, следуют или нет причинным законам элементарные процессы, ялвяющиеся истинными физическими процессами. То, что сходные макроскопические объекты ведут себя одинаково, не имеет отношения к детерминированности: такие объекты нельзя считать действительно тождественными, поскольку координаты, фиксируюшие состояния их атомов, никогда не совпадают и наблюдаемые макроскопические явления есть результат усреднения по этим координатам.

Критерием детерминированности могут быть по-настоящему лишь сами элементарные процессы на атомном уровне; но на таком уровне при нынешнем состоянии наших знаний все говорит против детерминированности, поскольку единственная формальная теория, соответствующая опыту, – квантовая механика – находится в логическом противоречии с детерминизмом . . . Поэтому сегодня нет никаких оснований для того, чтобы утверждать о наличии детерминированности в природе: никакой опыт не может дать доказательства его существования, поскольку макроскопические явления не могут доказать’ этого по самому своему характеру, а единственная теория, согласующаяся с тем, что нам известно об элементарных процессах, приводит к отказу от детерминизма».

Трудно утверждать, что такой приговор должен быть безоговорочно принят, но нельзя не признать, что возвращение к детерминистским представлениям классической физики становится крайне маловероятным.

По-видимому, против выводов фон Неймана можно возражать, лишь показывая, что распределения вероятностей, предсказываемые принципами волновой механики, не соответствуют опытным данным. Но в настоящее время точность этих вероятностных распределений доказана путем изучения громадного числа процессов на атомном уровне, так что оказывается очень трудным поставить ее под сомнение \( { }^{1)} \).]
1) Вероятно, еще когда Луи де Бройль в первый раз перечитывал рукопись, он зачеркнул (чернилами) свое собственное заключение, в котором принимал, хотя и в смягченных выражениях, категорические утверждения фон Неймана. Но (позднее?) он зачеркнул карандашом весь большой отрывок, в котором цитируется заключение фон Неймана. Напротив зачеркнутого текста он приклеил довольно большой лист бумаги с нижеследуюшим важнейшим примечанием, в котором дается первое опровержение теоремы фон Неймана, позднее развитое в работах [II, 27, 29]. Добавим, что длинная цитата

из фон Неймана не соответствует французскому переводу Прока (с. 223 упоминаемого выше издания); это собственный перевод Луи де Бройля. – Ж. Л.
(Примечание, сделанное чернилами на листе, добавленном позднее к тексту.) Однако существование теории волны-пилота, по-видимому, показывает, что в рассуждениях фон Неймана имеется слабое место. В самом деле, теория волны-пилота дает причинную интерпретацию вероятностных законов волновой механики на основе скрытых переменных, так что, несмотря на возникающие трудности, такая теория может сушествовать в противоположность утверждениям фон Неймана о невозможности такой теории. Таким образом, в его рассуждениях имеется слабое место. Я думаю, что оно состоит в следующем: фон Нейман допускает, что все распределения вероятностей существуют на равных правах в каждый момент времени. В теории же волны-пилота положение другое: в каждый момент времени частица имеет вполне определенные положение и импульс, которые для нас являются «скрытыми переменными», недоступными нашим измерениям. Таким образом, отсутствие у нас информации о положении частицы влечет за собой введение классическим путем вероятностей найти частицу в том или ином положении, которые соответствуют вероятностям \( |\psi|^{2} \) волновой механики. В противоположность этому составляющие импульса будут иметь возможные значения, которые, вообще говоря, изменяются очень сложным образом и распределения вероятностей которых не представляют практической ценности, поскольку эти значения неизмеряемы. Что же касается распределения вероятностей, даваемого для составляющих импульса волновой механикой (принцип спектрального разложения), то оно относится лишь к ситуации, возникающей после измерения импульса, когда не известен результат измерения. Стало быть, два распределения вероятностей, для координаты и для импульса, не существуют одновременно, в чем и состоит ошибочность рассуждений фон Неймана.
Уточним сказанное. Путь для начального состояния
\( \psi(x)=\sum_{p_{x}} c\left(p_{x}\right) \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right)=a \exp (i \varphi) \).
В теории волны-пилота частица имеет реальную координату \( x^{\prime} \) с вероятностью \( \left|\psi\left(x^{\prime}\right)\right|^{2} \) и составляющую импульса
\( p_{x}=-\frac{h}{2 \pi}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)_{x=x^{\prime}} \).
Мы имеем хлассический ансамбль (смешанное состояние), характеризуемый весами \( \left|\psi\left(x^{\prime}\right)\right|^{2} \), и для всякой физической величины \( A \) справедливо соотношение \( \overline{A^{2}}=(\bar{A})^{2} \) в состоянии, определяемом координатой \( x=x^{\prime} \). Если же измерить величину \( p_{x} \), что эквивалентно выделению тех или иных составляющих в разложении Фурье, то мы получим другой ансамбль – из волновых пакетов, соответствующих различным значениям величины \( p_{x} \), с весами \( \left|c\left(p_{x}\right)\right|^{2} \). Таким образом, ошибка в рассуждениях фон Неймана состоит в желании рассматривать в одно и то же время два ансамбля, один из которых относится к начальному состоянию, а другой – к состоянию после измерения величины \( p_{x} \). Именно это и мешает прийти снова к схеме классической статистики, когда для всех величин принимаются распределения вероятностей волновой механики.

Согласно теории волны-пилота, координатное представление имеет более важное значение, нежели импульсное представление, что приводит х интересным соображениям, относящимся к старой проблеме существования различных цветов в сложной волне. – Л. Б.