Теперь мы покажем, как с точки зрения волновой механики можно объяснить успех классической механики в макроскопической области. При этом можно исходить из теоремы Эренфеста, которую мы сейчас сформулируем ниже.
Рассмотрим снова жидкость вероятности с плотностью \( \rho=|\psi|^{2} \). Волновой пакет занимает конечную область \( R \) в трехмерном пространстве, и можно определить его «центр тяжести» следующими интуитивно очевидными фор-
1) Именно позтому в 1927 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, к которой он вернулся через год после написания данной книги. Гипотеза состоит в том, что должны существовать два решения уравнения Шредингера, взаимосвязанные, но не идснтичные: одно физическое, а другое – статистическое. – Ж. Л.
мулами:
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}=\iint_{R} \int \rho x d \tau=\iiint_{R} x|\psi|^{2} d \tau, \\
\bar{y}=\iiint_{R} y|\psi|^{2} d \dot{\tau}, \\
\bar{z}=\iint_{R} \int|\psi|^{2} d \tau .
\end{array}
\]
В более общем случае средним значением функции \( f(x, y, z) \) в жидкости вероятности назовем величину
\[
\bar{f}=\iint_{R} \int f(x, y, z)|\psi|^{2} d \tau .
\]
Опираясь на данные определения, сформулируем теорему, которая была доказана Эренфестом.
В жидкости вероятности иентр тяжести объема \( R \) с координатами \( \bar{x}, \bar{y} \), \( \vec{z} \) с течением времени перемешается так, как в классической механике перемецается материальная точка с массой \( m \), на которую действует сила \( \overline{\mathbf{f}} \).
В самом деле, с учетом волнового уравнения, проводя интегрирование по частям (функция \( \psi \) предполагается достаточно гладкой и обращающейся в нуль на границах области \( R \) ), получаем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \bar{x}}{d t}=\int_{R} x \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t} d \tau=-\frac{h}{4 \pi i m} \int_{R} x \sum_{x, y, z} \frac{\partial}{\partial x} \times \\
\times\left[\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}-\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x}\right] d \tau=\frac{h}{4 \pi i m} \int_{R}\left[\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}-\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x}\right] d \tau, \quad(22) \\
\frac{\partial^{2} \bar{x}}{\partial t^{2}}=\frac{h}{4 \pi i m} \int_{R}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}+\frac{\partial^{2} \psi^{*}}{\partial x \partial t}-\int_{R}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}\right) d \tau .\right.
\end{array}
\]
На основании волнового уравнения отсюда имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{h^{2}}{8 \pi^{2} m^{2}} \int_{R}\left[\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}\left(\Delta \psi-\frac{8 \pi^{2} m}{h^{2}} V \psi\right)+\right. \\
\left.+\frac{\partial \psi}{\partial x}\left(\Delta \psi^{*}-\frac{8 \pi^{2} m}{h^{2}} V^{*}\right)\right] d \tau .
\end{array}
\]
Дважды интегрируя по частям, получаем
\[
\begin{aligned}
\int_{R}\left(\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x} \Delta \psi+\frac{\partial \psi}{\partial x} \Delta \psi^{*}\right) d \tau=\int_{R}\left[\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x} \Delta \psi+\psi^{*} \frac{\partial}{x}(\Delta \psi)\right] d \tau & = \\
\text { откуда } & =\int_{R} \frac{\partial}{\partial x}\left(\psi^{*} \Delta \psi\right) d \tau=0,
\end{aligned}
\]
откуда
\[
=\int_{R} \frac{\partial}{\partial x}\left(\psi^{*} \Delta \psi\right) d \tau=0,
\]
\[
\begin{aligned}
m \frac{d^{2} \bar{x}}{d t^{2}} & =\int_{R} V \frac{\partial}{\partial x}\left(\psi \psi^{*}\right) d \tau=-\int_{R} \frac{\partial V}{\partial x} \psi \psi^{*} d \tau, \\
m \frac{d^{2} \bar{x}}{d t^{2}} & =-\frac{\partial V}{\partial x}=\bar{f}_{x} .
\end{aligned}
\]
Два аналогичных уравнения справедливы для осей \( у \) и \( z \). Тем самым доказана теорема Эренфеста.
Рассмотрим теперь какой-либо макроскопический эксперимент, позволяющий наблюдать движение частицы, скажем электрона. С макроскопической точки зрения длина волны, соответствующая волне \( \psi \), крайне мала, и мы можем взять волновой пакет, размеры которого очень малы в макроскопическом масштабе (квазиточечный волновой пакет), но тем не менее велики по сравнению с длиной волны. Макроскопическое поле, действующее на частицу, будет очень мало изменяться в пределах волнового пакета, так что сила \( \bar{f} \) приближенно будет равна значению силы в центре волнового пакета. Таким образом, с макроскопической точки зрения мы можем вместо волнового пакета рассматривать только его центр тяжести. Поскольку же частица может обнаружить свое присутствие лишь внутри волнового пакета, на основании теоремы Эренфеста мы можем сказать, что частица движется по классическим законам. Разумеется, микроскопический опыт показал бы нам, что частица может находиться где-либо внутри волнового пакета, но с макроскопической точхи зрения все такие возможные положения сливаются в одно, так как в нашем масштабе волновой пакет точечный1).
К данному вопросу можно подойти иначе, опираясь на теорему о груповой скорости.
Прежде всего напомним, что группа волн – это волновой пакет, который можно представить суперпозицией плоских монохроматических волн с очень
1) Поскольку все величины, входящие в уравнение Эренфеста вида (23), выражаются через одну и ту же волновую функцию \( \downarrow \) (подчиняющуюся волновому уравнению), они не являются независимыми. Позтому в математическом отношении уравнения Эренфеста принципиально отличаются от уравнений классической механики Ньютона, где состояние в данный момент времени характеризуется заданием произвольно выбираемых координат и скоростей. Например, для сташионарного состояния частицы, характеризуемого собственными значениями трех коммутирующих между собой наблюдаемых, волновая функция зависит от трех параметров. Отсюда видно, что средние значения координат и скоростей не могут выбираться произвольно, но связаны между собой тремя соотношениями. – Прим. ред.
—————————————————————-
001_book2_original_page-0058.jpg.txt
Вероятностная интерпретация волновой механики
57
близкими частотами, длинами волн и направлениями распространения. Поэтому группу волн можно приближенно характеризовать определенными частотой, длиной волны и направлением распространения, хотя группа волн, строго говоря, не эквивалентна монохроматической волне. Размеры группы волн ограничены, поскольку ее составляющие, синфазные в центре группы волн, взаимно уничтожаются вне ее границ в результате интерференции. Нетрудно показать, что размеры группы волн всегда велики по сравнению со средней длиной волны \( \lambda_{0} \). В самом деле, если различные составляющие синфазны в центре группы волн, которая представляет собой суперпозицию волн с длинами волн в интервале \( \left(\lambda_{0}-\Delta \lambda, \lambda_{0}+\Delta \lambda\right) \), где \( \Delta \lambda<\lambda_{0} \), то для того, чтобы, эти составляющие взаимно уничтожались в результате интерференции за пределами группы, изменение фазы волн с длиной волны от \( \lambda_{0} \) до \( \lambda_{0} \pm \Delta \lambda \) должно быть не меньше \( \pi / 2 \) при переходе от центра группы к ее границам. Если \( d \) – расстояние от центра группы до ее границы, то
\[
\frac{d}{\lambda_{0}}-\frac{d}{\lambda_{0}+\Delta \lambda} \approx \frac{d \Delta \lambda}{\lambda_{0}^{2}} \approx \frac{\pi}{2}
\]
и, следовательно,
\[
\frac{d}{\lambda_{0}} \approx \frac{\pi}{2} \quad \frac{\lambda_{0}}{\Delta \lambda}>1
\]
что и требовалось доказать.
Выведем теперь формулу Рэлея, относящуюся к групповой скорости.
В среде с переменным показателем преломления в приближении геометрической оптики плоскую монохроматическую волну с частотой \(
u_{0} \) можно представить в виде
\[
a \exp \left\{2 \pi i\left[
u_{0} t-\varphi_{1}\left(x, y, z,
u_{0}\right]\right\},\right.
\]
где \( \varphi_{1} \) – полный интеграл уравнения геометрической оптики. Группа волн может быть описана функцией
\[
\psi=\int_{
u_{0}-\Delta
u}^{
u_{0}+\Delta
u} a(
u) \exp \left\{2 \pi i\left[
u t-\varphi_{1}(x, y, z,
u)\right]\right\} d
u, \Delta
u<
u_{0} .
\]
Положим \(
u=
u_{0}+\eta \), где \( \eta \) изменяется от \( -\Delta
u \) до \( +\Delta
u \). Приближенно мы можем написать
\[
\begin{aligned}
\psi=\exp \left(2 \pi i\left[
u_{0} t-\varphi_{1}\left(x, y, z,
u_{0}\right)\right]\right\} & \int_{-\Delta
u}^{\Delta
u} \alpha(\eta) \times \\
& \times \exp \left\{2 \pi i\left[\eta t-\left(\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial
u}\right)_{0} \eta\right]\right\} d \eta,
\end{aligned}
\]
где \( \left(\partial \varphi_{1} / \partial
u\right)_{0} \) – частная производная функции \( \varphi_{1} \) по \(
u \), взятая при \(
u=
u_{0} \). В последней формуле интеграл является функцией параметра \( t \) – \( \left(\partial_{1} / \partial
u\right)_{0} \), поэтому можно написать
\[
\psi=F\left[t-\left(\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial
u}\right)_{0}\right] \exp \left\{2 \pi i\left[
u_{0} t-\varphi_{1}\left(x, y, z,
u_{0}\right)\right]\right\} .
\]
Таким образом, приближенно можно считать, что волновой пакет ведет себя как монохроматическая волна, амплитуда которой является функцией разности \( t-\left(\partial \varphi_{1} / \partial
u\right)_{0} \). Нетрудно сообразить, что для очень больших промежутков времени это приближение становится неприменимым. Если при движении вдоль луча, ортогонального поверхностям \( \varphi_{1}= \) const, мы перемещаемся таким образом, что \( d t-\left(\partial^{2} \varphi_{1} / \partial
u \partial s\right) d s=0 \), то мы будем перемещаться вместе с одним и тем же значением амплитуды. Поэтому можно считать, что за не очень большие промежутки времени группа волн перемещается как целое вдоль лучей со скоростью
\[
U=\frac{d s}{d t}=\left(\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial
u \partial s}\right)^{-1} .
\]
Но мы видели, что величина \( \partial \varphi_{1}^{*} / \partial s=\left|\operatorname{grad} \varphi_{1}\right| \) в любой точке равна обратному значению локальной длины волны \( \lambda(x, y, z,
u) \). Поэтому
\[
\frac{1}{U}=\frac{\partial}{\partial
u}\left(\frac{1}{\lambda}\right)=\frac{\partial(
u / \mathscr{V})}{\partial
u}=\frac{1}{\mathscr{V}_{0}} \frac{\partial(n
u)}{\partial
u} .
\]
Такова формула (называемая формулой Рэлея), которая дает выражение для групповой скорости в каждой точке. Если среда однородна, то \( U \) не зависит от \( x, y, z \). Более того, в отсутствие дисперсии ( \( \partial n / \partial
u=0 \) ) имеем \( U=\mathscr{V} \) и групповая скорость совпадает с фазовой скоростью.
Применим формулу Рэлея к случаю распространения волн \( \psi \) в волновой механике. Если частица движется во внешнем поле с потенциалом \( V(x, y, z) \), то [гл. 1, формула (30)]
\( \lambda=\frac{h}{\sqrt{2 m(E-V(x, y, z))}} \),
где \( E=h
u \), откуда
\[
\frac{\partial\left(\frac{1}{\lambda}\right)}{\partial
u}=\frac{\frac{1}{h} \partial \sqrt{2 m(E-V)}}{\frac{1}{h} \partial E}=\frac{m}{\sqrt{2 m(E-V)}}=\frac{1}{v},
\]
так как \( \sqrt{2 m(E-V)}=m v \). Поэтому формула Рэлея дает
\[
U=v \text {. }
\]
Отсюда следует важная теорема волновой механики о групповой скорости.
Скорость группы волн \( \psi \), сопоставляемой с частицей, равна скорости частицы, которая соответствует центральной частоте группы волн.
Вернемся к вопросу о связи между классической механикой и волновой механикой в макроскопической области. В этой области поля́, а следовательно, и показатель преломления для волны \( \psi \) мало меняются в пределах длины волны. Поскольку же длина волны очень мала, мы можем рассматривать группы волн, которые в наших масштабах являются почти точечными. Рассмотрим монохроматическую волну, соответствующую центральной частоте \(
u_{0} \) группы волн. Для нее имеются семейство поверхностей равной фазы \( \varphi_{1}(x, y \), \( \left.z, v_{0}\right)= \) const и лучи, т. е. кривые, ортогональные этим поверхностям.
С макроскопической точки зрения группа волн аналогична капельке, движущейся по лучевой трубке. В микроскопическом масштабе, сравнимом с длиной волны, в центральной части она будет аналогична монохроматической волне и лишь на границах из-за интерференции различных составляющих ее интенсивность быстро падает до нуля. Волновой пакет распространяется вдоль лучей со скоростью \( U \), равной скорости классической частицы в данном поле. Поскольку в макроскопическом масштабе мы не можем различать отдельные точки группы волн и последняя представляется нам одной точкой, а частица может обнаружить себя лишь внутри группы, у нас возникает впечатление, что точечная частица движется по классическим законам. Таким образом, мы снова приходим к тем же выводам, что и в случае рассуждений, основанных на теореме Эренфеста. Эта теорема и теорема о групповой скорости тесно связаны между собой, и обе позволяют установить соответствие между волновой и классической механикой в случае макроскопических явлений, когда распространение волны \( \psi \) можно рассматривать в приближении геометрической оптики.
